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国立 長崎大学 2014年 第4問区間$0 \leqq x \leqq \pi$において，関数$f(x)$と関数$g(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{2} \cos x,\quad g(x)=\cos \frac{x}{2}+c \]
と定義する．$c$は定数である．次の問いに答えよ．
(1)区間$0 \leqq x \leqq \pi$において，$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$が$x=0$以外の点で接するように$c$の値を定め，接点$(p,\ q)$を求めよ．また，そのとき，区間$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$f(x)$と関数$g(x)$の大小関係を調べよ．
(2)定数$c$と接点$(p,\ q)$は$(1)$で求めたものとする．そのとき，区間$0 \leqq x \leqq p$において，$y$軸および$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$によって囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
\[ f(x)=\frac{1}{2} \cos x,\quad g(x)=\cos \frac{x}{2}+c \]
と定義する．$c$は定数である．次の問いに答えよ．
(1)区間$0 \leqq x \leqq \pi$において，$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$が$x=0$以外の点で接するように$c$の値を定め，接点$(p,\ q)$を求めよ．また，そのとき，区間$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$f(x)$と関数$g(x)$の大小関係を調べよ．
(2)定数$c$と接点$(p,\ q)$は$(1)$で求めたものとする．そのとき，区間$0 \leqq x \leqq p$において，$y$軸および$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$によって囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 長崎大学 2014年 第3問曲線$C:y=\log x$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における接線を$\ell$とする．ただし，$1<t<e$とする．$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)接線$\ell$と$x$軸および$y$軸によって囲まれた図形を$D_1$，接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸によって囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積$S_1(t)$と$D_2$の面積$S_2(t)$を求めよ．
(4)$S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とおく．このとき$S(t)$の増減を調べ，その最小値およびそのときの$t$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)接線$\ell$と$x$軸および$y$軸によって囲まれた図形を$D_1$，接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸によって囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積$S_1(t)$と$D_2$の面積$S_2(t)$を求めよ．
(4)$S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とおく．このとき$S(t)$の増減を調べ，その最小値およびそのときの$t$の値を求めよ．
国立 長崎大学 2014年 第3問曲線$C:y=\log x$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における接線を$\ell$とする．ただし，$1<t<e$とする．$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)接線$\ell$と$x$軸および$y$軸によって囲まれた図形を$D_1$，接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸によって囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積$S_1(t)$と$D_2$の面積$S_2(t)$を求めよ．
(4)$S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とおく．このとき$S(t)$の増減を調べ，その最小値およびそのときの$t$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)接線$\ell$と$x$軸および$y$軸によって囲まれた図形を$D_1$，接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸によって囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積$S_1(t)$と$D_2$の面積$S_2(t)$を求めよ．
(4)$S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とおく．このとき$S(t)$の増減を調べ，その最小値およびそのときの$t$の値を求めよ．
国立 信州大学 2014年 第1問次の$3$つの条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(i) $a_1=0$
(ii) $a_1<a_2<\cdots<a_n<a_{n+1}<\cdots$
(iii) 放物線$y=x^2$と，その上の点$(a_n,\ {a_n}^2)$における接線と，直線$x=a_{n+1}$とで囲まれる図形の面積が$8^n$になる．
(i) $a_1=0$
(ii) $a_1<a_2<\cdots<a_n<a_{n+1}<\cdots$
(iii) 放物線$y=x^2$と，その上の点$(a_n,\ {a_n}^2)$における接線と，直線$x=a_{n+1}$とで囲まれる図形の面積が$8^n$になる．
国立 福島大学 2014年 第5問$a,\ b$を正の定数とし，関数$y=f(x)$，$y=g(x)$を次のように定める．
$f(x)=2 \sqrt{x-a} \quad (x \geqq a)$
$\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{4}+b \quad (x \geqq 0)$
$y=f(x)$のグラフを$C_1$，$y=g(x)$のグラフを$C_2$とし，$C_1$と$C_2$は$1$点$\mathrm{P}$において接している．すなわち，点$\mathrm{P}$は$C_1$，$C_2$上にあり，点$\mathrm{P}$におけるそれぞれの接線は一致する．
(1)関数$y=f(x)$の導関数を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$a$および$b$を$t$を用いて表しなさい．
(3)$t$の値の範囲を求めなさい．
(4)$C_1$，$C_2$，$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$t$を用いて表しなさい．
(5)$S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めなさい．
$f(x)=2 \sqrt{x-a} \quad (x \geqq a)$
$\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{4}+b \quad (x \geqq 0)$
$y=f(x)$のグラフを$C_1$，$y=g(x)$のグラフを$C_2$とし，$C_1$と$C_2$は$1$点$\mathrm{P}$において接している．すなわち，点$\mathrm{P}$は$C_1$，$C_2$上にあり，点$\mathrm{P}$におけるそれぞれの接線は一致する．
(1)関数$y=f(x)$の導関数を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$a$および$b$を$t$を用いて表しなさい．
(3)$t$の値の範囲を求めなさい．
(4)$C_1$，$C_2$，$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$t$を用いて表しなさい．
(5)$S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めなさい．
私立 慶應義塾大学 2014年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に円$C:x^2+y^2=r^2$と放物線$\displaystyle D:y=\frac{1}{2}x^2-t$がある．ただし$r$と$t$はそれぞれ正の実数の定数とする．点$(0,\ -55)$から放物線$D$に傾きが正の接線を引くとき，その接線の傾きは$3 \sqrt{6}$である．放物線$D$上には$x$座標がそれぞれ$-4 \sqrt{3}$，$4 \sqrt{3}$である点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，円$C$はこの$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る．このとき，
(1)$t=[$40$][$41$]$である．
(2)$r=[$42$]$である．
(3)円$C$と$2$線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$で囲まれる$2$つの扇形のうち，$\angle \mathrm{POQ}$が$\pi$より小さい方の面積は$\displaystyle \frac{[$43$][$44$]}{[$45$]} \pi$である．
(4)円$C$と放物線$D$で囲まれた図形のうち，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \geqq r^2 \\
y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2-t
\end{array} \right. \]
で表される図形の面積は$\displaystyle [$46$][$47$][$48$] \sqrt{[$49$]}-\frac{[$50$][$51$]}{[$52$]} \pi$である．
(1)$t=[$40$][$41$]$である．
(2)$r=[$42$]$である．
(3)円$C$と$2$線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$で囲まれる$2$つの扇形のうち，$\angle \mathrm{POQ}$が$\pi$より小さい方の面積は$\displaystyle \frac{[$43$][$44$]}{[$45$]} \pi$である．
(4)円$C$と放物線$D$で囲まれた図形のうち，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \geqq r^2 \\
y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2-t
\end{array} \right. \]
で表される図形の面積は$\displaystyle [$46$][$47$][$48$] \sqrt{[$49$]}-\frac{[$50$][$51$]}{[$52$]} \pi$である．
私立 慶應義塾大学 2014年 第3問正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の頂点$\mathrm{D}$と正六角形の外部の点$\mathrm{G}$を線分で結んだ下のような図形がある．動点$\mathrm{P}$はこの図形の線分上を動き，点から点へ移動する．動点$\mathrm{P}$の隣接する点への移動には$1$秒間を要する．また，隣接する点が複数あるときは，等しい確率でどれか$1$つの点に移動するものとする．
（図は省略）
(1)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$4$秒後に$\mathrm{G}$にいる確率は$\displaystyle \frac{[$53$]}{[$54$][$55$]}$である．
(2)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$5$秒後に$\mathrm{D}$にいる確率は$\displaystyle \frac{[$56$][$57$]}{[$58$][$59$]}$である．
(3)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$\mathrm{D}$に到達した時点で移動を終了するとき，$2n+1$秒以内に移動を終了する確率は$\displaystyle \frac{{[$60$]}^n-{[$61$]}^n}{{[$62$]}^n}$である．ただし，$n$は自然数とする．
（図は省略）
(1)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$4$秒後に$\mathrm{G}$にいる確率は$\displaystyle \frac{[$53$]}{[$54$][$55$]}$である．
(2)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$5$秒後に$\mathrm{D}$にいる確率は$\displaystyle \frac{[$56$][$57$]}{[$58$][$59$]}$である．
(3)動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$\mathrm{D}$に到達した時点で移動を終了するとき，$2n+1$秒以内に移動を終了する確率は$\displaystyle \frac{{[$60$]}^n-{[$61$]}^n}{{[$62$]}^n}$である．ただし，$n$は自然数とする．
私立 慶應義塾大学 2014年 第2問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．
(1)座標平面上に曲線$C_1:y=x^2-1$がある．$x$軸に関して$C_1$に対称な曲線を$C_2$とすると，$C_2$を表す方程式は$[ケ]$である．
$0 \leqq a \leqq 1$とするとき，$-a \leqq x \leqq a$において，曲線$C_2$と直線$y=a^2-1$，および$2$直線$x=-a$，$x=a$で囲まれた図形の面積$S(a)$は，
\[ S(a)=[コ] \]
となる．$S(a)$は，$a=[サ]$のとき最大値$[シ]$をとる．
(2)関数$f(x)=8^x-6 \cdot 4^x+5 \cdot 2^x$を考える．$f(x)=-12$を満たす実数$x$をすべて求めると，$x=[ス]$となる．また，方程式$f(x)=k$が$3$つの実数解をもつような定数$k$の値の範囲は，$[セ]<k<[ソ]$である．
(1)座標平面上に曲線$C_1:y=x^2-1$がある．$x$軸に関して$C_1$に対称な曲線を$C_2$とすると，$C_2$を表す方程式は$[ケ]$である．
$0 \leqq a \leqq 1$とするとき，$-a \leqq x \leqq a$において，曲線$C_2$と直線$y=a^2-1$，および$2$直線$x=-a$，$x=a$で囲まれた図形の面積$S(a)$は，
\[ S(a)=[コ] \]
となる．$S(a)$は，$a=[サ]$のとき最大値$[シ]$をとる．
(2)関数$f(x)=8^x-6 \cdot 4^x+5 \cdot 2^x$を考える．$f(x)=-12$を満たす実数$x$をすべて求めると，$x=[ス]$となる．また，方程式$f(x)=k$が$3$つの実数解をもつような定数$k$の値の範囲は，$[セ]<k<[ソ]$である．
私立 慶應義塾大学 2014年 第2問$a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の関数$F(x)$を
\[ F(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+bx+c \]
と定め，
\[ f(x)=F^\prime(x) \]
とおく．関数$F(x)$は$x=\alpha$において極大に，$x=\beta$において極小になるとする．点$(\alpha,\ f(\alpha))$，$(\beta,\ f(\beta))$における曲線$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とする．
(1)直線$\ell_\alpha$と$\ell_\beta$の交点の座標は
\[ \left( \frac{[$15$]}{[$16$]} \alpha+\frac{[$17$]}{[$18$]} \beta,\ \frac{[$19$][$20$]}{[$21$]} (\beta-\alpha)^2 \right) \]
である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とで囲まれた図形の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{[$22$]}{[$23$][$24$]} (\beta-\alpha)^3 \]
である．必要なら次の公式を使ってよい．$r$を実数とすると
\[ \int (x+r)^2 \, dx=\frac{1}{3}(x+r)^3+C \quad (C \text{は定数}) \]
(3)実数$a,\ b$が不等式
\[ 0 \leqq a \leqq 2,\quad 2a-4 \leqq b \leqq 2a-2 \]
をみたす範囲を動くとき，$S$の最大値は$\displaystyle \frac{[$25$][$26$]}{[$27$]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[$28$][$29$]}{[$30$]}$である．
\[ F(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+bx+c \]
と定め，
\[ f(x)=F^\prime(x) \]
とおく．関数$F(x)$は$x=\alpha$において極大に，$x=\beta$において極小になるとする．点$(\alpha,\ f(\alpha))$，$(\beta,\ f(\beta))$における曲線$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とする．
(1)直線$\ell_\alpha$と$\ell_\beta$の交点の座標は
\[ \left( \frac{[$15$]}{[$16$]} \alpha+\frac{[$17$]}{[$18$]} \beta,\ \frac{[$19$][$20$]}{[$21$]} (\beta-\alpha)^2 \right) \]
である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とで囲まれた図形の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{[$22$]}{[$23$][$24$]} (\beta-\alpha)^3 \]
である．必要なら次の公式を使ってよい．$r$を実数とすると
\[ \int (x+r)^2 \, dx=\frac{1}{3}(x+r)^3+C \quad (C \text{は定数}) \]
(3)実数$a,\ b$が不等式
\[ 0 \leqq a \leqq 2,\quad 2a-4 \leqq b \leqq 2a-2 \]
をみたす範囲を動くとき，$S$の最大値は$\displaystyle \frac{[$25$][$26$]}{[$27$]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[$28$][$29$]}{[$30$]}$である．
私立 埼玉工業大学 2014年 第3問曲線$\ell:y=\log x (1 \leqq x \leqq 2)$上の点$(t,\ \log t)$における$\ell$の接線の方程式は
\[ y=\frac{[ハ]}{t}x+\log t-[ヒ] \]
であり，この接線と直線$x=1$，$x=2$および$\ell$で囲まれた図形の面積$S$は，
\[ S=\frac{[フ]}{2t}+\log t-[ヘ] \log 2 \]
である．$\displaystyle t=\frac{[ホ]}{[マ]}$のとき，$S$は最小値$\displaystyle 1+\log \frac{[ミ]}{[ム]}$をとる．
\[ y=\frac{[ハ]}{t}x+\log t-[ヒ] \]
であり，この接線と直線$x=1$，$x=2$および$\ell$で囲まれた図形の面積$S$は，
\[ S=\frac{[フ]}{2t}+\log t-[ヘ] \log 2 \]
である．$\displaystyle t=\frac{[ホ]}{[マ]}$のとき，$S$は最小値$\displaystyle 1+\log \frac{[ミ]}{[ム]}$をとる．