次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において
\[ \frac{2}{\pi}x \leqq \sin x \leqq x \]
が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$D_1$を曲線$y=\sin x$と$2$直線$y=x$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形とし，$D_2$を曲線$y=\sin x$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{\pi}x$で囲まれた図形とする．$D_1$，$D_2$の面積を求め，どちらの面積が大きいか調べよ．
(3)$D_2$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において
\[ \frac{2}{\pi}x \leqq \sin x \leqq x \]
が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$D_1$を曲線$y=\sin x$と$2$直線$y=x$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形とし，$D_2$を曲線$y=\sin x$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{\pi}x$で囲まれた図形とする．$D_1$，$D_2$の面積を求め，どちらの面積が大きいか調べよ．
(3)$D_2$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$が与えられているとする．以下の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$が，それぞれ$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=s:1-s$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=t:1-t$と辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$を内分するように与えられているとする（即ち$0<s<1$，$0<t<1$とする）．直線$\mathrm{PQ}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通るための必要十分条件は$3st=s+t$であることを示せ．
(2)直線$\ell$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る直線とする．$\ell$によって，$\triangle \mathrm{ABC}$はふたつの図形（三角形と四角形，またはふたつの三角形）に分割される．これらの図形の面積のうち，大きい方を$S_1$，小さい方を$S_2$とする．ただし，面積が等しい場合も同じ記号を用い，$S_1=S_2$とする．

(i) $\ell$が$\triangle \mathrm{ABC}$のいずれかの頂点を通ることは$S_1=S_2$となるための必要十分条件であることを示せ．
(ii) $\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の最大値と最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なく用いて良い．
(2)異なる自然数$m,\ n$の組で
\[ m^n=n^m \]
を満たすものをすべて求めよ．
(3)曲線$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$と直線$\displaystyle y=\frac{\log 2}{2}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$t,\ x$は実数とする．関数$f(t)$を$f(t)=2 |t-1|+t+1$と定義し，$\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t) \, dt$とおく．

(1)関数$y=f(t)$のグラフをかけ．
(2)関数$F(x)$を求めよ．
(3)曲線$y=F(x)$上の点$(0,\ F(0))$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)曲線$y=F(x)$と$(3)$で求めた接線$\ell$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-2}{e^x+2}$について，以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$をそれぞれ求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$および第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$を$C$とするとき，$C$の変曲点の座標を求めよ．
(4)曲線$C$の変曲点における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(5)曲線$C$，$y$軸および接線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$2$つの関数
\[ f(x)=x \sqrt{4-x^2} (0 \leqq x \leqq 2),\quad g(y)=\sqrt{4-y^2} (0 \leqq y \leqq 2) \]
を考える．座標平面上において，曲線$y=f(x)$を$C_1$とし，曲線$x=g(y)$を$C_2$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$との共有点の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$の最大値$M$を求めよ．
(3)$C_1$と$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が$C_1$上にあるとき，$x^2$を$y$を用いて表せ．
(5)$y$軸および$2$曲線$C_1$，$C_2$で囲まれた図形を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

放物線$C:y=x^2$上の点$(t,\ t^2) (t>0)$における$C$の接線を$\ell$とする．直線$x=-1$，放物線$C$および接線$\ell$で囲まれる図形の面積を$S_1$，直線$x=5t$，放物線$C$および接線$\ell$で囲まれる図形の面積を$S_2$とし，$R=S_2-S_1$とおく．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$R$の値を，$t$を用いて表せ．
(2)$R$の最小値を求めよ．

$p$を正の定数として，放物線$C:y=(x-p)^2+p^2$を考える．$C$の$2$本の接線$\ell,\ m$を考え，接点の$x$座標を，それぞれ$a,\ b$とする．ただし，$a<0$，$b>0$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$m$の方程式を求めよ．
(2)$\ell,\ m$が原点を通るとき，$a,\ b$を$p$を用いて表せ．
(3)$\ell,\ m$が原点を通るとき，放物線$C$と$2$本の接線$\ell$および$m$によって囲まれた図形の面積を$S$とする．$S$を$p$を用いて表せ．

曲線$C:y=\log x$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における接線を$\ell$とする．ただし，$1<t<e$とする．$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(3)接線$\ell$と$x$軸および$y$軸によって囲まれた図形を$D_1$，接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸によって囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積$S_1(t)$と$D_2$の面積$S_2(t)$を求めよ．
(4)$S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とおく．このとき$S(t)$の増減を調べ，その最小値およびそのときの$t$の値を求めよ．