「図形」について
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国立 香川大学 2014年 第4問関数$f(x)=xe^{2-x}$について，次の問に答えよ．
(1)曲線$C:y=f(x)$の概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線のうち傾きが最小のものを$\ell$とするとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C:y=f(x)$の概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線のうち傾きが最小のものを$\ell$とするとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第1問関数$f(x)=xe^{2-x}$について，次の問に答えよ．
(1)曲線$C:y=f(x)$の概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線のうち傾きが最小のものを$\ell$とするとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C:y=f(x)$の概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線のうち傾きが最小のものを$\ell$とするとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第5問一辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$があり，辺$\mathrm{BF}$上に点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{DH}$上に点$\mathrm{Q}$を$\displaystyle \mathrm{BP}=\mathrm{DQ}=\frac{3}{4}$となるようにとる．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を含む平面と直線$\mathrm{CG}$の交点を$\mathrm{R}$とする．また直線$\mathrm{PR}$と辺$\mathrm{FG}$の交点を$\mathrm{S}$とし，直線$\mathrm{QR}$と辺$\mathrm{GH}$の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)四面体$\mathrm{SGTR}$の体積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PFS}$，$\triangle \mathrm{QTH}$，四角形$\mathrm{FSTH}$，四角形$\mathrm{PSTQ}$及び四角形$\mathrm{PFHQ}$で囲まれた図形の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)四面体$\mathrm{SGTR}$の体積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PFS}$，$\triangle \mathrm{QTH}$，四角形$\mathrm{FSTH}$，四角形$\mathrm{PSTQ}$及び四角形$\mathrm{PFHQ}$で囲まれた図形の体積を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第2問$p$を正の実数とする．放物線$y=3x^2-px+1$と$x$軸で囲まれた図形の面積が$\displaystyle \frac{4}{27}$であるとき，$p$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第4問曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{P}(1,\ 0)$における接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$y=\log x$の交点を$\mathrm{R}$とする．ここで，対数は自然対数である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$と曲線$y=\log x$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$と曲線$y=\log x$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第3問曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{P}(1,\ 0)$における接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$y=\log x$の交点を$\mathrm{R}$とする．ここで，対数は自然対数である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$と曲線$y=\log x$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$と曲線$y=\log x$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第5問座標平面上の曲線$C$は媒介変数$t (t \geqq 0)$を用いて$x=t^2+2t+\log (t+1)$，$y=t^2+2t-\log (t+1)$と表される．$C$上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$における$C$の接線の傾きが$\displaystyle \frac{2e-1}{2e+1}$であるとする．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を座標$(b,\ a)$の点とする．直線$\mathrm{PQ}$，直線$y=x$と曲線$C$で囲まれた図形を，直線$y=x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を座標$(b,\ a)$の点とする．直線$\mathrm{PQ}$，直線$y=x$と曲線$C$で囲まれた図形を，直線$y=x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 宮城教育大学 2014年 第2問関数
\[ f(x)=\int_{-a}^x (a-|t|) \, dt \]
を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．
(1)$x \leqq 0$と$x \geqq 0$の場合に，関数$f(x)$を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$の$x$座標は負であり，点$\mathrm{A}$における曲線$y=f(x)$の接線の傾きが$-\sqrt{2}a$であるとき，点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．さらに，点$\mathrm{A}$を通って$x$軸に平行な直線と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
\[ f(x)=\int_{-a}^x (a-|t|) \, dt \]
を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．
(1)$x \leqq 0$と$x \geqq 0$の場合に，関数$f(x)$を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$の$x$座標は負であり，点$\mathrm{A}$における曲線$y=f(x)$の接線の傾きが$-\sqrt{2}a$であるとき，点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．さらに，点$\mathrm{A}$を通って$x$軸に平行な直線と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 福井大学 2014年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$について，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線が点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2 \sqrt{2}} \right)$を通るような$t$の値を求めよ．
(3)$t$を$(2)$で求めた値とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=t$によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線が点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2 \sqrt{2}} \right)$を通るような$t$の値を求めよ．
(3)$t$を$(2)$で求めた値とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=t$によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第5問一辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$があり，辺$\mathrm{BF}$上に点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{DH}$上に点$\mathrm{Q}$を$\displaystyle \mathrm{BP}=\mathrm{DQ}=\frac{3}{4}$となるようにとる．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を含む平面と直線$\mathrm{CG}$の交点を$\mathrm{R}$とする．また直線$\mathrm{PR}$と辺$\mathrm{FG}$の交点を$\mathrm{S}$とし，直線$\mathrm{QR}$と辺$\mathrm{GH}$の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)四面体$\mathrm{SGTR}$の体積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PFS}$，$\triangle \mathrm{QTH}$，四角形$\mathrm{FSTH}$，四角形$\mathrm{PSTQ}$及び四角形$\mathrm{PFHQ}$で囲まれた図形の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)四面体$\mathrm{SGTR}$の体積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PFS}$，$\triangle \mathrm{QTH}$，四角形$\mathrm{FSTH}$，四角形$\mathrm{PSTQ}$及び四角形$\mathrm{PFHQ}$で囲まれた図形の体積を求めよ．