「図形」について
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国立 三重大学 2014年 第4問傾き正の直線$\ell$が，$2$曲線
\[ C:y=-x^2+6x,\quad C^\prime:y=3x^2-14x+28 \]
の両方に接している．以下の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$と$C$および$x$軸の$3$つで囲まれる図形の面積を求めよ．
\[ C:y=-x^2+6x,\quad C^\prime:y=3x^2-14x+28 \]
の両方に接している．以下の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$と$C$および$x$軸の$3$つで囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 三重大学 2014年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\sin \left( \frac{3}{2}x \right)+\frac{3}{4}x$と$\displaystyle g(x)=\frac{3}{4}x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．
(1)$y=f(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$y=f(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 三重大学 2014年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\sin \left( \frac{3}{2}x \right)+\frac{3}{4}x$と$\displaystyle g(x)=\frac{3}{4}x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．
(1)$f(x)$の増減，凹凸を調べ，極値を求めよ．また，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$f(x)$の増減，凹凸を調べ，極値を求めよ．また，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 三重大学 2014年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\sin \left( \frac{3}{2}x \right)+\frac{3}{4}x$と$\displaystyle g(x)=\frac{3}{4}x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．
(1)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 岐阜大学 2014年 第2問サイコロを$3$回振り，出た目を順に$a,\ b,\ c$とする．関数$f(x)$を
\[ f(x)=3ax^2-2bx+3c \]
と定める．以下の問に答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$が$x=1$を解にもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつ確率を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$(a,\ b,\ c)$の組について考える．このとき，$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積$S$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．また，$S$の最大値を求めよ．
\[ f(x)=3ax^2-2bx+3c \]
と定める．以下の問に答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$が$x=1$を解にもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつ確率を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$(a,\ b,\ c)$の組について考える．このとき，$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積$S$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．また，$S$の最大値を求めよ．
国立 岐阜大学 2014年 第2問サイコロを$3$回振り，出た目を順に$a,\ b,\ c$とする．関数$f(x)$を
\[ f(x)=3ax^2-2bx+3c \]
と定める．以下の問に答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$が$x=1$を解にもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつ確率を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$(a,\ b,\ c)$の組について考える．このとき，$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積$S$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．また，$S$の最大値を求めよ．
\[ f(x)=3ax^2-2bx+3c \]
と定める．以下の問に答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$が$x=1$を解にもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつ確率を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$(a,\ b,\ c)$の組について考える．このとき，$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積$S$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．また，$S$の最大値を求めよ．
国立 富山大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で方程式$\cos 2x-\cos x=0$の解を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で$2$つの曲線$y=\cos 2x$と$y=\cos x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)$(2)$の図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で方程式$\cos 2x-\cos x=0$の解を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で$2$つの曲線$y=\cos 2x$と$y=\cos x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)$(2)$の図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 富山大学 2014年 第1問曲線$\displaystyle C:y=\frac{4}{x}$上に$2$点$\mathrm{P}(1,\ 4)$，$\mathrm{Q}(4,\ 1)$をとる．直線$\ell:y=kx (k<0)$に垂直な直線で$\mathrm{P}$を通るものを$\ell_{\mathrm{P}}$とし，$\mathrm{Q}$を通るものを$\ell_{\mathrm{Q}}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\ell_{\mathrm{P}}$，$\ell_{\mathrm{Q}}$の方程式を求めよ．
(2)$\ell_{\mathrm{P}}$と$\ell$の交点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．また，$\ell_{\mathrm{Q}}$と$\ell$の交点$\mathrm{S}$の$x$座標を求めよ．
(3)$C,\ \ell,\ \ell_{\mathrm{P}},\ \ell_{\mathrm{Q}}$で囲まれた図形の面積$M$を求めよ．
(4)$k$を動かすとき，$M$の最大値を求めよ．
(1)$\ell_{\mathrm{P}}$，$\ell_{\mathrm{Q}}$の方程式を求めよ．
(2)$\ell_{\mathrm{P}}$と$\ell$の交点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．また，$\ell_{\mathrm{Q}}$と$\ell$の交点$\mathrm{S}$の$x$座標を求めよ．
(3)$C,\ \ell,\ \ell_{\mathrm{P}},\ \ell_{\mathrm{Q}}$で囲まれた図形の面積$M$を求めよ．
(4)$k$を動かすとき，$M$の最大値を求めよ．
国立 富山大学 2014年 第3問関数$f(x)$と$g(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
|x \log \abs{x|} & (x \neq 0) \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
0 \phantom{\frac{[ ]}{2}} & (x=0)
\end{array} \right. \]
\[ g(x)=-x^2+1 \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示し，これを用いて$f(x)$は$x=0$で連続であることを示せ．
(2)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)方程式$f(x)=g(x)$の解は$x=-1,\ 1$のみであることを示せ．
(4)$0<r<1$とする．曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$によって囲まれた図形のうち，$x \geqq r$の範囲の部分の面積を$S(r)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{r \to +0} S(r)$を求めよ．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
|x \log \abs{x|} & (x \neq 0) \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
0 \phantom{\frac{[ ]}{2}} & (x=0)
\end{array} \right. \]
\[ g(x)=-x^2+1 \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示し，これを用いて$f(x)$は$x=0$で連続であることを示せ．
(2)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)方程式$f(x)=g(x)$の解は$x=-1,\ 1$のみであることを示せ．
(4)$0<r<1$とする．曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$によって囲まれた図形のうち，$x \geqq r$の範囲の部分の面積を$S(r)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{r \to +0} S(r)$を求めよ．
国立 富山大学 2014年 第3問曲線$y=f(x)=x^3-3x^2+x+6$を$C_1$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$C_1$の接線で点$(-1,\ f(-1))$を通るもののうち，傾きの小さいものを$\ell_1$，傾きの大きいものを$\ell_2$とする．$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)$g(x)$を$x$の$2$次式とし，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．曲線$C_2$が，曲線$C_1$と直線$\ell_1$の共有点および曲線$C_1$と直線$\ell_2$の共有点を通るとき，$g(x)$を求めよ．
(3)曲線$C_2$と直線$\ell_1,\ \ell_2$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)曲線$C_1$の接線で点$(-1,\ f(-1))$を通るもののうち，傾きの小さいものを$\ell_1$，傾きの大きいものを$\ell_2$とする．$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)$g(x)$を$x$の$2$次式とし，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．曲線$C_2$が，曲線$C_1$と直線$\ell_1$の共有点および曲線$C_1$と直線$\ell_2$の共有点を通るとき，$g(x)$を求めよ．
(3)曲線$C_2$と直線$\ell_1,\ \ell_2$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．