実数$a,\ b$は，$-1<x<1$に対して$-3<x^2-2ax+b<5$を満たすものとする．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$(a,\ b)$が表す領域を図示せよ．
(2)座標平面上で，直線$x=0$，直線$x=1$，直線$y=-3$，曲線$y=x^2-2ax+b$で囲まれる図形の面積$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S$の取りうる値の範囲を求めよ．

$f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とする．ただし，対数は自然対数である．

(1)$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$y=1$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)曲線$C$，直線$y=1$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}} (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数，$e$は自然対数の底とする．

(1)極限$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$y=|f(x)|$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{1}{e}$，$x=e$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

関数$f(x)=\log (1+x^2)$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 \log (1+x^2) \, dx$を求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$の増減を調べ，$y=f^\prime(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$C:y=f(x)$と曲線$C$の互いに直交している$2$本の接線とで囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

$a$を正の定数とする．$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=2a$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=\frac{2}{3}\pi$である$\triangle \mathrm{ABC}$と，
\[ |2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BP}}-\overrightarrow{\mathrm{CP}}|=a \]
を満たす動点$\mathrm{P}$がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$の最大値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$が通過してできる図形の面積$S$を求めよ．

$a$を$\displaystyle \frac{\pi}{2}<a<\pi$を満たす定数とする．$2$つの曲線
\[ y=\sin x \left( \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq a \right),\quad y=\cos x \left( \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と$2$つの直線$x=a$，$y=0$で囲まれる図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$D$の面積$S$を求めよ．
(2)$D$を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{4}$とする．曲線$y=\sin 2x$上の点$(a,\ \sin 2a)$における接線$\ell_1$と点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2}-a,\ \sin 2 \left( \frac{\pi}{2}-a \right) \right)$における接線$\ell_2$が直交しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$および曲線$\displaystyle y=\sin 2x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\theta$を媒介変数として，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\theta-\sin \theta \\
y=1-\cos \theta
\end{array} \right. \]
で表される曲線の$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$に対応する点における接線の方程式を求めよ．
(2)$2$つの曲線$y=e^{-x}+1$，$y=3(e^{-x}-1)$の交点の座標を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(3)$(2)$の$2$曲線と$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(4)$(3)$で与えられた$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$m$を正の定数とし，放物線$C:y=x^2$上に点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$をとる．ただし，$\displaystyle \frac{m}{2}<a<m$とする．$\mathrm{P}$を通り傾きが$m$の直線を$\ell_1$，$\mathrm{P}$を通り傾きが$2m$の直線を$\ell_2$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$C$と$\ell_1$で囲まれた図形の面積を$S_1$，$C$と$\ell_2$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$を$a$と$m$を用いて表せ．
(2)$S_1$が$S_2$の$8$倍となるとき，$a$を$m$を用いて表せ．
(3)$a$を変化させたとき，$S_1+S_2$の最小値とそのときの$a$の値を$m$を用いて表せ．

$r$を$0<r<2$をみたす実数とする．座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(2-r,\ 2-r)$，$\mathrm{B}(-2+r,\ 2-r)$，$\mathrm{C}(-2+r,\ -2+r)$，$\mathrm{D}(2-r,\ -2+r)$を頂点とする正方形を考える．この正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を動く点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$を中心とする半径$r$の円を$\mathrm{O}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上を$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで動くとき，円$\mathrm{O}$の周および内部が通過してできる図形の面積を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を一周するとき，円$\mathrm{O}$の周および内部が通過してできる図形の面積$S$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$S$を最大にする$r$の値を求めよ．