座標平面上の点$(\alpha,\ 1) (\alpha>0)$を中心とする円$C$と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$が共に点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{2}t^2 \right)$で直線$\ell$と接している．

(1)$\alpha$を$t$の式で表すと
\[ \alpha=\frac{[ク]}{[ケ]}t^3 \]
である．
以下では，$C$が$x$軸と接する場合を考える．$C$と$x$軸の接点を$\mathrm{H}$とする．

(2)$\displaystyle \alpha=\frac{[コ]}{[サ]} \sqrt{[シ]}$である．
(3)$\ell$の方程式は
\[ y=\sqrt{[ス]}x+\frac{[セ]}{[ソ]} \]
である．
(4)$C$の弧$\mathrm{PH}$のうちの短い方と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$および$x$軸とで囲まれる図形の面積は
\[ \frac{[タ]}{[チ]} \sqrt{[ツ]}+\frac{[テ]}{[ト]}\pi \]
である．

$a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の関数
\[ F(x)=x^3+ax^2+bx+c \]
は$x=\alpha$で極大になり，$x=\beta$で極小になるとする．曲線$y=F(x)$上の点$\mathrm{B}(\beta,\ F(\beta))$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$y=F(x)$の共有点のうち$\mathrm{B}$と異なるものを$(\gamma,\ F(\gamma))$とする．

(1)$x$の整式$F(x)-F(\beta)$を，$\beta,\ \gamma$を用いて$1$次式の積に因数分解された形で表せ．
(2)$\gamma$を$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ．必要ならば$x$の整式で表される関数$p(x)$，$q(x)$とそれらの導関数に関して成り立つ公式
\[ \{p(x)q(x)\}^\prime=p^\prime(x)q(x)+p(x)q^\prime(x) \]
を用いてもよい．
(3)$f(x)=F^\prime(x)$とする．直線$x=\gamma$，$x$軸，および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形のうち$y \geqq 0$となる部分の面積$S$を，$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ．さらに，$\displaystyle a-b \geqq \frac{3}{2}$が成り立つとき，$S$の最小値を求めよ．

$a$は$0$以上の実数とする．放物線$y=x^2+a^2$を$C_a$とし，$y$軸と平行な直線$x=1$を$M$とする．$C_a$と$M$の交点における$C_a$の接線を$L_a$とする．$a>0$のとき，$C_0$と$L_a$で囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積を$S_a$とおく．

(1)\quad
(i) $\displaystyle S_a=\frac{[ア]}{[イ]}a^{\mkakko{ウ}}$である．
(ii) $L_3$と平行であり，かつ$C_0$と異なる$2$点で交わる直線$L$に対して，$L$と$C_0$によって囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積を$S$とおく．$\displaystyle S=\frac{1}{8}S_3$となるのは，$L$の$y$切片が$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$のときである．

(2)$2$つの曲線$C_0$と$C_3$，および$2$直線$L_3$，$L_5$によって囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積は$\displaystyle \frac{[カ][キ]}{[ク]}$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{2 \sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線の方程式を求めよ．
(2)点$(1,\ 1)$において接線と直交する直線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$，直線$\ell$および$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

直線$y=-2x+b$と曲線$y=|x(x-4)|$が$x$軸上にない共有点をちょうど$3$個もつとき，定数$b$の値は$[エ]$であり，$3$個の共有点の座標は$[オ]$，$[カ]$および$[キ]$である．さらにこのとき，この曲線と直線で囲まれた図形の面積は$[ク]$である．

（新課程履修者）$a>0$とする．複素平面上で等式
\[ |z-ia|=\frac{z-\overline{z}}{2i} \]
を満たす点$z$全体の表す図形を$C$とする．ただし，$i$は虚数単位で，$\overline{z}$は$z$と共役な複素数を表す．

(1)$z=x+iy$と表すとき，$C$の方程式を$y=f(x)$の形で表せ．
(2)$C$上の点$z$で
\[ |z-(2+2i)|=|z+(2+2i)| \]
を満たすものを求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}=4$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-5$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}=9$を満たすとき，
\[ {|\abs{\overrightarrow{b|} \overrightarrow{a}+|\overrightarrow{a|} \overrightarrow{b}}}^2 \]
の値を求めなさい．
(2)直線$y=kx-k^2$が$k$の値によらず放物線$y=ax^2$に接するとき，$a$の値を求めなさい．
(3)曲線$y=(1-\sqrt{x})^2$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．

正の定数$a (a \neq 1)$に対して，$2$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=ax(1-x) \]
と定める．曲線$C:y=f(x)$の点$(1,\ 0)$における接線を$\ell_1$，直線$y=-x$を$\ell_2$とする．曲線$C$の$x \leqq 1$の部分と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれる部分の面積を$S$で表し，また，この部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$V$で表す．

(1)直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$S$を$a$を用いて表せ．
(3)定数$a$は$a>1$を満たすものとする．$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$U$で表すとき，
\[ \frac{30a^3}{(a-1)^4 \pi}(V-U) \]
を$a$の$1$次式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{a \to 1+0}(a-1)^2V$の値を求めよ．

\begin{mawarikomi}{55mm}{
（図は省略）
}
座標平面において媒介変数表示された曲線
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
を考え，この曲線で囲まれた図形を$D$とする．右図はこの曲線の概形を表す．

(1)この曲線上の点$(x,\ y)$の$y$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ア]}$のときで，その点の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[イ]}}{[ウ]},\ [エ] \right)$であり，$y$座標が最小になるのは$\displaystyle t=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のときで，その点の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ [ケコ] \right)$である．また，この曲線が原点以外の点で$x$軸と交わるのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[サ]}$のときで，その交点の$x$座標は$[シ]$である．

(2)$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{dy}{dx}=[ス]$であり，$\displaystyle \lim_{t \to \pi-0} \frac{dy}{dx}=[セソ]$である．

(3)図形$D$の面積は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．
(4)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テト]} \pi$である．

\end{mawarikomi}

実数全体を定義域とする関数$f(x)$は奇関数で微分可能であるとする．さらに，$f^\prime(x)$も微分可能で$f^\prime(0)=0$を満たし，$x>0$の範囲で$f^{\prime\prime}(x)>0$であるとする．$y=f(x)$のグラフを$C_1$，$C_1$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$f(a)$だけ平行移動した曲線を$C_2$とする．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$f(0)$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$は偶関数であることを示せ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点の個数が$2$個であることを示し，その$2$点の$x$座標を求めよ．
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を$S(a)$とする．$a$が$0<a \leqq 3$の範囲を動くとき，$S(a)$を最大にする$a$の値を求めよ．