$a,\ b$を実数とする．$f(x)=x^2+ax+b$，$g(x)=x^2+bx+a$とする．$2$次方程式$f(x)=0$が実数解をもつとする．その実数解の$1$つが$2$次方程式$g(x)=0$の$1$つの解の逆数であるとする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=0$の解と$g(x)=0$の解をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とする．直線$y=x-1$と放物線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を$S_1$とし，直線$y=x-1$と放物線$y=g(x)$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=27:8$となるとき，$a$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)次の関係式によって定められる数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
a_1=1 \\
a_{n+1}-(\sqrt{2}+1)a_n=1 & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right) \]
(3)曲線$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた下図の図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）

自然対数の底を$e$とする．区間$x \geqq 0$上で定義される関数
\[ f(x)=e^{-x} \sin x \]
を考え，曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に並べる．それらを，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$とする．点$\mathrm{P}_0$は原点である．

自然数$n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$と$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を求めよ．
(2)面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^n S_k$とする．このとき，$I_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)次の関係式によって定められる数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
a_1=1 \\
a_{n+1}-(\sqrt{2}+1)a_n=1 & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right) \]
(3)曲線$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた下図の図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）

区間$0 \leqq x \leqq \pi$上で定義される関数
\[ f(x)=\cos 2x-4 \sin^3 x \]
について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$の解を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)次の関係式によって定められる数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
a_1=1 \\
a_{n+1}-(\sqrt{2}+1)a_n=1 & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
(2)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right) \]
(3)曲線$C:\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた下図の図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）

実数$x \neq 1$について定義される関数
\[ f(x)=\frac{1+x}{1-x} \]
を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to 1-0} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to 1+0} f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$を求めよ．
(3)$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．曲線$y=f(x)$上の格子点の座標をすべて求めよ．
(4)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(5)$x \leqq 0$かつ$y \geqq 0$で表される領域において，$x$軸と$y$軸および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の各問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)方程式$z^4=-1$を解け．
(2)$\alpha$を方程式$z^4=-1$の解の一つとする．複素数平面に点$\beta$があって$|z-\beta|=\sqrt{2} |z-\alpha|$を満たす点$z$全体が原点を中心とする円$C$を描くとき，複素数$\beta$を$\alpha$で表せ．
(3)点$z$が$(2)$の円$C$上を動くとき，点$i$と$z$を結ぶ線分の中点$w$はどのような図形を描くか．

$1$つの円が定直線に接しながらすべることなく回転するとき，円周上の定点$\mathrm{P}$のえがく軌跡をサイクロイドという．
（図は省略）

上の図を参考に，以下の設問に答えよ．

(1)円$\mathrm{C}$を半径$1$の円，定直線を$x$軸とし，円$\mathrm{C}$が$x$軸に原点$\mathrm{O}$で接するとき，定点$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$の位置にあったとする．円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したとき，円$\mathrm{C}$の中心の座標を求めよ．
(2)円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の位置を$(x,\ y)$とするとき，$x,\ y$をそれぞれ$\theta$を使って表せ．
(3)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$において，$(2)$で与えられる点$\mathrm{P}$の軌跡（サイクロイド）と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

関数
\[ f(x)=x+\sin 2x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
に対して，曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{4},\ f \left( \frac{\pi}{4} \right) \right)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)関数$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$C$，$y$軸および接線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)不定積分$\displaystyle \int x \sin 2x \, dx$を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(5)曲線$C$，$x$軸および直線$x=\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．