関数$f(x)$を
\[ f(x)=(x^2-6x+8) e^{-x} \]
と定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)関数$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

平面上に$2$つの円
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり，点$(-1,\ 0)$で接している．

点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き，点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く．二点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する．$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り，$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする．$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく．
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して，その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．

$a$を正の定数とし，
\[ x=a \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y=a \sin \theta+\sin 2\theta \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3} \right) \]
で表される曲線を$C$とする．曲線$C$が点$\mathrm{P}(1,\ 2)$を通るとき，以下の問いに答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$x=1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a$を正の定数とし，
\[ x=a \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y=a \sin \theta+\sin 2\theta \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3} \right) \]
で表される曲線を$C$とする．曲線$C$が点$\mathrm{P}(1,\ 2)$を通るとき，以下の問いに答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$x=1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a$を正の定数とし，
\[ x=a \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y=a \sin \theta+\sin 2\theta \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3} \right) \]
で表される曲線を$C$とする．曲線$C$が点$\mathrm{P}(1,\ 2)$を通るとき，以下の問いに答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$x=1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=3 |x^2-2x-3|$のグラフをかけ．
(2)$1<t<3$を満たす定数$t$を考える．曲線$y=3 |x^2-2x-3|$の$t \leqq x \leqq t+2$における部分と$x$軸，および$2$直線$x=t$，$x=t+2$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$t$が$1<t<3$の範囲を動くときの$S(t)$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

座標平面上において，曲線$C:y=e^{2x}$上の点$\mathrm{P}(a,\ e^{2a})$における接線$\ell$は原点$\mathrm{O}$を通るとする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int \log t \, dt$および$\displaystyle \int (\log t)^2 \, dt$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

関数$f(x)=e^{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x} (x \geqq 0)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x) \geqq 0$を示せ．また等号が成立するような$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

関数$f(x)=e^{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x} (x \geqq 0)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x) \geqq 0$を示せ．また等号が成立するような$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(x)={|x-2|}^3-3x^2+12x$がある．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．