次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$が点$(5,\ 8)$を通るとすると，$b=-[　] a-[][]$である．さらに，$C$の頂点が$y$軸上にあるとき$a=[　]$，$b=-[][]$であり，$C$の頂点が$x$軸上にあるとき$a=-[][] \pm [　] \sqrt{[　]}$である．
(2)$2a^2-ab-15b^2=([　] a+[　] b)(a-[　] b)$である．$a=3 \sqrt{6}+5 \sqrt{2}$，$b=\sqrt{6}-2 \sqrt{2}$のとき，$2a^2-ab-15b^2=[][][] \sqrt{[　]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=3$とするとき，$\displaystyle \cos A=-\frac{[　]}{[][]}$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[　] \sqrt{[][]}$である．さらに，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{[　] \sqrt{[][]}}{[　]}$である．
(4)$1$から$20$までの整数の中から異なる$2$個の整数$a,\ b (a<b)$を選ぶとき，$a,\ b$の積が奇数になる選び方は$[][]$通りあり，$3$の倍数でない選び方は$[][]$通りある．また，$a,\ b$の積が$3$の倍数でない奇数になる選び方は$[][]$通りあり，$3$の倍数でない偶数になる選び方は$[][]$通りある．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)$\displaystyle \frac{(\alpha+\beta)^3-(\alpha^3+\beta^3)}{\alpha+\beta}=[　] \alpha\beta$である．$a=\sqrt[3]{48}+\sqrt[3]{36}$のとき$\displaystyle \frac{a^3-84}{a}=[][]$であり，$b=\sqrt[3]{10+\sqrt{19}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{19}}$のとき$\displaystyle \log_{81} \frac{b^3-20}{b}=\frac{[　]}{[][]}$である．
(2)$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CD}=1$，$\mathrm{DA}=1$の台形$\mathrm{ABCD}$において$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=-\frac{[　]}{[　]}$であり，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$である．さらに，台形$\mathrm{ABCD}$を底面にもつ四角錐$\mathrm{ABCDF}$の頂点$\mathrm{F}$から底面$\mathrm{ABCD}$に下ろした垂線の足が$\mathrm{E}$と一致し$\mathrm{EF}=2$であるとき，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FD}}=\frac{[][]}{[　]}$である．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)コインを$2$回投げたとき表の出る回数を$X$，さいころを$1$回投げたとき出る目の数を$Y$とする．$X+Y=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[][]}$であり，$X+Y=2$となる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．$X+Y$の期待値は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

(2)$n$を$3$の倍数でない自然数とする．
$n^3$を$9$で割った余りは$[　]$または$[　]$（ただし$[　]<[　]$）であり，$n^9$を$27$で割った余りは$[　]$または$[][]$である．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)$x=\sqrt{14}-\sqrt{7}+\sqrt{2}$，$y=\sqrt{14}+\sqrt{7}-\sqrt{2}$のとき，
$(x+y)^3=[][][] \sqrt{14}$，$xy=[　]+[　] \sqrt{14}$，$x^3+y^3=[][] \sqrt{14}-[][][]$である．
(2)$a$を実数とする．$2$次方程式$x^2+5ax+3a+4=0$が正の解$\alpha$と負の解$\beta$をもつとき，$a$の範囲は$\displaystyle a<-\frac{[　]}{[　]}$であり，$\alpha-\beta$のとる値の範囲は$\displaystyle \alpha-\beta>\frac{[][]}{[　]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{AC}=8$とするとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[　]}{[　]}$である．辺$\mathrm{BC}$上の点を中心とする半径$r$の円が$2$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に接するとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[][]}{[　]} r$であり，$\displaystyle r=\frac{[　] \sqrt{[　]}}{[　]}$である．
(4)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$から異なる$4$個を並べてできる$4$桁の整数は$[][][]$個ある．このうち$2013$より小さい整数は$[][]$個あり，$2013$より大きく$4532$より小さい整数は$[][][]$個ある．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)円$c_1:x^2+y^2-8x+6y-72=0$の中心を$\mathrm{A}(a,\ b)$，半径を$r$とするとき，$a=[　]$，$b=-[　]$，$r=\sqrt{[][]}$である．
円$c_2:x^2+y^2-2x+4y-35=0$の中心を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{AB}=\sqrt{[][]}$であり，円$c_1$が円$c_2$の接線から切りとる弦の長さの最大値は$[　] \sqrt{[][]}$である．

(2)$\displaystyle 0<\beta<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \cos (\alpha+\beta)=\frac{1}{6}$，$\displaystyle \cos \alpha \cos \beta=\frac{3}{8}$のとき，

$\displaystyle \sin \alpha \sin \beta=\frac{[　]}{[][]}$，$\displaystyle \cos (\alpha-\beta)=\frac{[　]}{[][]}$，

$\displaystyle \cos 2\alpha=\frac{[　]-[　] \sqrt{[][][]}}{72}$である．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$から異なる$4$個を並べてできる$4$桁の整数は$[][][]$個ある．このうち$2013$より小さい整数は$[][]$個あり，$2013$より大きく$4532$より小さい整数は$[][][]$個ある．
(2)$a,\ b$は実数とする．
$a=[　]$は，$(a-1)^2+(a-2)^2(b-3)^2=0$であるための必要条件である．
$a=[　]$かつ$b=[　]$であることは，$(a-1)^2+(a-2)^2(b-3)^2=0$であるための必要十分条件である．
$a=[　]$または$b=[　]$であることは，
\[ (a-1)^2(a-2)^2(b-3)^2(b-5)^2+(a-2)^2(a-4)^2(b-3)^2(b-7)^2=0 \]
であるための十分条件である．
(3)$a=[　]$かつ$b=[　]$であることは，
\[ (a-4)^2(b-5)^2(b-8)^2+(a-4)^2(a-6)^2+(a-5)^2(a-7)^2(b-7)^2=0 \]
であるための必要十分条件である．

実数$x$に対し，$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す．

自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$n$が$[\sqrt{n}]$の整数倍で表せるとき，そのような$n$を小さいものから順に並べて
\[ n_1,\ n_2,\ n_3,\ \cdots \]
とする．

(1)$n_5=[マ]$である．
(2)自然数$p$に対して，$[\sqrt{n}]=p$をみたす自然数$n$の集合を$M_p$とする．$M_p$の要素で$p$の整数倍であるものは全部で$[ミ]$個ある．
(3)自然数$m$に対して，
\[ S_m=\sum_{i=1}^m n_i \]
とおく．$k \geqq 1$のとき，$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$はいずれも$k$の多項式で，それぞれの$k$の$1$次の項の係数は$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$の順に$[ム]$，$[メ]$，$[モ]$である．また，$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$は共通の因数$\displaystyle \left( k+[ヤ] \right)$をもつ．

(4)$\displaystyle \lim_{m \to \infty} \frac{\sqrt[3]{S_m}}{m}=\frac{[ユ]}{[ヨ]}$である．