タグ「因数」の検索結果

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大同大学 私立 大同大学 2013年 第1問
次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ.ただし,根号内の平方因数は根号外にくくり出し,分数は既約分数で表すこと.

(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$が点$(5,\ 8)$を通るとすると,$b=-[ ] a-[][]$である.さらに,$C$の頂点が$y$軸上にあるとき$a=[ ]$,$b=-[][]$であり,$C$の頂点が$x$軸上にあるとき$a=-[][] \pm [ ] \sqrt{[ ]}$である.
(2)$2a^2-ab-15b^2=([ ] a+[ ] b)(a-[ ] b)$である.$a=3 \sqrt{6}+5 \sqrt{2}$,$b=\sqrt{6}-2 \sqrt{2}$のとき,$2a^2-ab-15b^2=[][][] \sqrt{[ ]}$である.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=5$,$\mathrm{BC}=6$,$\mathrm{CA}=3$とするとき,$\displaystyle \cos A=-\frac{[ ]}{[][]}$であり,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ] \sqrt{[][]}$である.さらに,$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると,$\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{[ ] \sqrt{[][]}}{[ ]}$である.
(4)$1$から$20$までの整数の中から異なる$2$個の整数$a,\ b (a<b)$を選ぶとき,$a,\ b$の積が奇数になる選び方は$[][]$通りあり,$3$の倍数でない選び方は$[][]$通りある.また,$a,\ b$の積が$3$の倍数でない奇数になる選び方は$[][]$通りあり,$3$の倍数でない偶数になる選び方は$[][]$通りある.
大同大学 私立 大同大学 2013年 第2問
次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ.ただし,根号内の平方因数は根号外にくくり出し,分数は既約分数で表すこと.

(1)$\displaystyle \frac{(\alpha+\beta)^3-(\alpha^3+\beta^3)}{\alpha+\beta}=[ ] \alpha\beta$である.$a=\sqrt[3]{48}+\sqrt[3]{36}$のとき$\displaystyle \frac{a^3-84}{a}=[][]$であり,$b=\sqrt[3]{10+\sqrt{19}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{19}}$のとき$\displaystyle \log_{81} \frac{b^3-20}{b}=\frac{[ ]}{[][]}$である.
(2)$\mathrm{AB}=1$,$\mathrm{BC}=2$,$\mathrm{CD}=1$,$\mathrm{DA}=1$の台形$\mathrm{ABCD}$において$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=-\frac{[ ]}{[ ]}$であり,対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とすると,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$である.さらに,台形$\mathrm{ABCD}$を底面にもつ四角錐$\mathrm{ABCDF}$の頂点$\mathrm{F}$から底面$\mathrm{ABCD}$に下ろした垂線の足が$\mathrm{E}$と一致し$\mathrm{EF}=2$であるとき,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FD}}=\frac{[][]}{[ ]}$である.
大同大学 私立 大同大学 2013年 第6問
次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ.ただし,根号内の平方因数は根号外にくくり出し,分数は既約分数で表すこと.

(1)コインを$2$回投げたとき表の出る回数を$X$,さいころを$1$回投げたとき出る目の数を$Y$とする.$X+Y=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[][]}$であり,$X+Y=2$となる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である.$X+Y$の期待値は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である.

(2)$n$を$3$の倍数でない自然数とする.
$n^3$を$9$で割った余りは$[ ]$または$[ ]$(ただし$[ ]<[ ]$)であり,$n^9$を$27$で割った余りは$[ ]$または$[][]$である.
大同大学 私立 大同大学 2012年 第1問
次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ.ただし,根号内の平方因数は根号外にくくり出し,分数は既約分数で表すこと.

(1)$x=\sqrt{14}-\sqrt{7}+\sqrt{2}$,$y=\sqrt{14}+\sqrt{7}-\sqrt{2}$のとき,
$(x+y)^3=[][][] \sqrt{14}$,$xy=[ ]+[ ] \sqrt{14}$,$x^3+y^3=[][] \sqrt{14}-[][][]$である.
(2)$a$を実数とする.$2$次方程式$x^2+5ax+3a+4=0$が正の解$\alpha$と負の解$\beta$をもつとき,$a$の範囲は$\displaystyle a<-\frac{[ ]}{[ ]}$であり,$\alpha-\beta$のとる値の範囲は$\displaystyle \alpha-\beta>\frac{[][]}{[ ]}$である.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=7$,$\mathrm{BC}=9$,$\mathrm{AC}=8$とするとき,$\displaystyle \cos A=\frac{[ ]}{[ ]}$である.辺$\mathrm{BC}$上の点を中心とする半径$r$の円が$2$辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{AC}$に接するとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[][]}{[ ]} r$であり,$\displaystyle r=\frac{[ ] \sqrt{[ ]}}{[ ]}$である.
(4)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$から異なる$4$個を並べてできる$4$桁の整数は$[][][]$個ある.このうち$2013$より小さい整数は$[][]$個あり,$2013$より大きく$4532$より小さい整数は$[][][]$個ある.
大同大学 私立 大同大学 2012年 第2問
次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ.ただし,根号内の平方因数は根号外にくくり出し,分数は既約分数で表すこと.

(1)円$c_1:x^2+y^2-8x+6y-72=0$の中心を$\mathrm{A}(a,\ b)$,半径を$r$とするとき,$a=[ ]$,$b=-[ ]$,$r=\sqrt{[][]}$である.
円$c_2:x^2+y^2-2x+4y-35=0$の中心を$\mathrm{B}$とするとき,$\mathrm{AB}=\sqrt{[][]}$であり,円$c_1$が円$c_2$の接線から切りとる弦の長さの最大値は$[ ] \sqrt{[][]}$である.

(2)$\displaystyle 0<\beta<\alpha<\frac{\pi}{2}$,$\displaystyle \cos (\alpha+\beta)=\frac{1}{6}$,$\displaystyle \cos \alpha \cos \beta=\frac{3}{8}$のとき,

$\displaystyle \sin \alpha \sin \beta=\frac{[ ]}{[][]}$,$\displaystyle \cos (\alpha-\beta)=\frac{[ ]}{[][]}$,

$\displaystyle \cos 2\alpha=\frac{[ ]-[ ] \sqrt{[][][]}}{72}$である.
大同大学 私立 大同大学 2012年 第6問
次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ.ただし,根号内の平方因数は根号外にくくり出し,分数は既約分数で表すこと.

(1)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$から異なる$4$個を並べてできる$4$桁の整数は$[][][]$個ある.このうち$2013$より小さい整数は$[][]$個あり,$2013$より大きく$4532$より小さい整数は$[][][]$個ある.
(2)$a,\ b$は実数とする.
$a=[ ]$は,$(a-1)^2+(a-2)^2(b-3)^2=0$であるための必要条件である.
$a=[ ]$かつ$b=[ ]$であることは,$(a-1)^2+(a-2)^2(b-3)^2=0$であるための必要十分条件である.
$a=[ ]$または$b=[ ]$であることは,
\[ (a-1)^2(a-2)^2(b-3)^2(b-5)^2+(a-2)^2(a-4)^2(b-3)^2(b-7)^2=0 \]
であるための十分条件である.
(3)$a=[ ]$かつ$b=[ ]$であることは,
\[ (a-4)^2(b-5)^2(b-8)^2+(a-4)^2(a-6)^2+(a-5)^2(a-7)^2(b-7)^2=0 \]
であるための必要十分条件である.
上智大学 私立 上智大学 2011年 第4問
実数$x$に対し,$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す.

自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,$n$が$[\sqrt{n}]$の整数倍で表せるとき,そのような$n$を小さいものから順に並べて
\[ n_1,\ n_2,\ n_3,\ \cdots \]
とする.

(1)$n_5=[マ]$である.
(2)自然数$p$に対して,$[\sqrt{n}]=p$をみたす自然数$n$の集合を$M_p$とする.$M_p$の要素で$p$の整数倍であるものは全部で$[ミ]$個ある.
(3)自然数$m$に対して,
\[ S_m=\sum_{i=1}^m n_i \]
とおく.$k \geqq 1$のとき,$S_{3k-2}$,$S_{3k-1}$,$S_{3k}$はいずれも$k$の多項式で,それぞれの$k$の$1$次の項の係数は$S_{3k-2}$,$S_{3k-1}$,$S_{3k}$の順に$[ム]$,$[メ]$,$[モ]$である.また,$S_{3k-2}$,$S_{3k-1}$,$S_{3k}$は共通の因数$\displaystyle \left( k+[ヤ] \right)$をもつ.

(4)$\displaystyle \lim_{m \to \infty} \frac{\sqrt[3]{S_m}}{m}=\frac{[ユ]}{[ヨ]}$である.
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