平面上の点P$_n$，Q$_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める． \\
P$_1(0,\ 0)$，Q$_1(0,\ 1)$とする． P$_n$，Q$_n$が定められているとして，Q$_n$を中心にP$_n$を時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点をP$_{n+1}$とする．さらに，P$_{n+1}$を中心にQ$_n$を反時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点とP$_{n+1}$の中点をQ$_{n+1}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)P$_2$，P$_3$の座標を求めなさい．
(2)すべてのP$_n$を通る直線の方程式を求めなさい．
(3)線分P$_n$Q$_n$の長さを$n$の式で表しなさい．
(4)P$_n$の$x$座標を$x_n$とおく．$x_n$を$n$の式で表しなさい．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めなさい．

図に示す点$\mathrm{O}$を原点とする直交座標空間に点$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}$を，$xy$平面内で原点$\mathrm{O}$を中心として図に示す矢印の方向に角度$\theta$回転させた位置に点$\mathrm{Q}$をとる．さらに，点$\mathrm{Q}$および$z$軸を含む平面内で，点$\mathrm{O}$を中心として点$\mathrm{Q}$を矢印の方向に角度$\theta$回転させた位置に点$\mathrm{R}$をとる．ただし，角度$\theta$の範囲は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{R}$の座標$(x_\mathrm{R},\ y_\mathrm{R},\ z_\mathrm{R})$を，角度$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{ORP}=\frac{\pi}{3}$であるとき，角度$\theta$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$から平面$x+y=0$に下ろした垂線の長さ$l$を，角度$\theta$の関数で表せ．
(4)(3)で求めた垂線の長さ$l$が最大となるときの角度$\theta$の値とそのときの$l$の値を求めよ．

座標平面上の$2$直線$\ell:x \sin \theta-y \cos \theta=0$（ただし$0^\circ \leqq \theta<180^\circ$），$\displaystyle m:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$を考える．$\ell$，$m$に関する対称移動をそれぞれ$f,\ g$とする．

(1)対称移動$f$を表す行列を求めよ．
(2)移動の合成$f \circ g$が原点のまわりの回転移動となることを示せ．また，その回転角を$\theta$を用いて表せ．
(3)移動の合成$f \circ g$を表す行列と$g \circ f$を表す行列が一致するときの$\theta$を求めよ．ただし，$f$と$g$は異なる移動とする．

$2$つの曲線$y=e \log x$，$y=ax^2$が共有点を持ち，その共有点における接線が一致するとき以下の問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底とする．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)$(2)$の図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

第一象限内にあって$2$つの曲線
\[ y=x^2-1,\quad x^2+y^2+2 \sqrt{3}y-1=0 \]
と$2$つの直線
\[ y=3,\quad x=0 \]
とで囲まれる図形を$D$とする．

(1)$D$の面積を求めよ．
(2)$D$を$y$軸に関して$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．

楕円$\displaystyle A:\frac{x^2}{4}+y^2=1$を原点を中心に反時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{3}$回転させて得た楕円を$B$とする．この回転により，点$\displaystyle \left( -\sqrt{3},\ \frac{1}{2} \right)$を接点とする$A$の接線$y=[　]$は，$B$に対する接線$y=[　]$に移される．

$a$を実数（ただし，$a$は$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$にも，$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}}$にも等しくない）とする．$a_1=a$とし，数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上の点$\displaystyle \mathrm{P}_n \left( a_n,\ \frac{1}{2} a_n^2 \right)$における$C$の接線を$\ell_n$とする．点$\displaystyle \mathrm{P}_{n+1} \left( a_{n+1},\ \frac{1}{2} a_{n+1}^2 \right)$における$C$の接線$\ell_{n+1}$の傾きは，$\mathrm{P}_n$を中心として$\ell_n$を正の向きに$60^\circ$回転した直線の傾きに等しい．

(1)$a_2$を$a$の式で表せ．
(2)$a_3$を$a$の式で表せ．
(3)$a_4$を$a$の式で表せ．
(4)$a_{14}$を$a$の式で表せ．

座標平面上の点の移動について考える．

(1)直線$y=ax$に関する対称移動の$1$次変換$g$を表す行列は
\[ \frac{1}{[　]+a^2} \left( \begin{array}{cc}
[$*$]-a^2 \phantom{\frac{1}{2}} & [$**$]a \\
[$**$]a \phantom{\frac{1}{2}} & -([$*$]-a^2)
\end{array} \right) \]
である．
(2)$x$軸に関する対称移動の$1$次変換$h$を表す行列は$\left( \begin{array}{cc}
[　] & 0 \\
0 & [　]
\end{array} \right)$である．
(3)原点のまわりに角$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転する$1$次変換を$f$とするとき，$f=g \circ h$ならば，$\displaystyle a=\frac{[　]}{\sqrt{[　]}}$である．ここで，$g$と$h$はそれぞれ$(1)$，$(2)$の$1$次変換である．

関数$f(x)$を次のように定める．
\[ f(x)=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} \quad (-1 \leqq x \leqq 1) \]
このとき次の問いに答えよ．

(1)$x=-1,\ x=1,\ y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(2)図形$D$を$x$軸のまわりに回転してできる図形の体積を求めよ．

原点をOとする座標平面上に2点P$(a,\ c)$およびQ$(b,\ d)$をとり，$\triangle$OPQを考える．線分OPが$x$軸の正の部分となす角を$\theta$とする．ただし，$\theta$は時計の針の回転と逆の向きを正とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\sin \theta$と$\cos \theta$を$a,\ c$の式で表せ．
(2)点Qを原点の周りに$-\theta$だけ回転させた点を$(x,\ y)$とするとき，$x,\ y$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(3)$\triangle$OPQの面積を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(4)一次変換
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
\sqrt{2}+\sqrt{5} & 3 \\
1 & \sqrt{2}-\sqrt{5}
\end{array} \biggr) \]
によって，点P，Qがそれぞれ点P$^\prime$，Q$^\prime$に移されるものとする．$\triangle$OP$^\prime$Q$^\prime$の面積は$\triangle$OPQの何倍か．