$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$2$曲線$y=\cos x$，$y=\sin 2x$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めたい．次の問いに答えよ．

(1)$2$曲線$y=\cos x$，$y=\sin 2x$の交点の$x$座標をすべて求めよ．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)体積$V$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x} (x \geqq 1)$と曲線$C:y=f(x)$について，次に答えよ．

(1)区間$x>1$で，$f(x)$は増加し，曲線$C$は上に凸であることを示せ．
(2)曲線$C$の点$(\sqrt{2},\ f(\sqrt{2}))$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた直線$\ell$と曲線$C$および$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(4)$(3)$で定めた図形$D$の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)=xe^x$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$について，増減および凹凸を調べ，そのグラフをかけ．ただし，必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}xe^x=0$を用いてもよい．
(2)不定積分$\displaystyle \int xe^x \, dx$，$\displaystyle \int x^2e^{2x} \, dx$をそれぞれ求めよ．
(3)$0 \leqq t \leqq 1$に対し$g(x)=f(x)-f(t)$とおく．$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で，曲線$y=g(x)$と$x$軸ではさまれる部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V(t)$とする．$V(t)$を求めよ．
(4)$(3)$の$V(t)$が最小値をとるときの$t$の値を$a$とする．最小値$V(a)$と，$f(a)$の値を求めよ．ただし，$a$の値を求める必要はない．

次の$\tocichi$，$\tocni$に答えよ．

\mon[$\tocichi$] 次の$5$つの定積分を求めよ．（$\tocni \ (4)$で用いる．）

$\displaystyle I_1=\int_0^\pi x \sin x \, dx,\quad I_2=\int_0^\pi x^2 \cos x \, dx,\quad I_3=\int_0^\pi \sin^2 x \, dx$

$\displaystyle I_4=\int_0^\pi x \cos x \sin x \, dx,\quad I_5=\int_0^\pi \sin^2 x \cos x \, dx$

\mon[$\tocni$] 関数$y=\sin x$のグラフを曲線$C$とする．$C$上の点$\mathrm{O}(0,\ 0)$における接線を$\ell_1$，点$\mathrm{A}(\pi,\ 0)$における接線を$\ell_2$とする．
$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{B}$，$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sin t) (0 \leqq t \leqq \pi)$から$\ell_1$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．ただし，$t=0$のときは$\mathrm{Q}=\mathrm{P}$とする．$\mathrm{OQ}=s$とおく．

\mon[$(1)$] $\angle \mathrm{OBA}$の大きさを求めよ．
\mon[$(2)$] $s$を$t$を用いて表せ．
\mon[$(3)$] 線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ．
\mon[$(4)$] 曲線$C$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれた部分を，直線$\ell_1$の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)関数$f(x)=x-\log x$の最小値を求めよ．
(2)$a$を$1$より大きい定数とし，曲線$\displaystyle y=a \sin x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$y=\tan x$ $\displaystyle \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$によって囲まれる部分$D$の面積が$1-\log 2$であるとする．次の（ア），（イ）に答えよ．

\mon[（ア）] $a$の値を求めよ．
\mon[（イ）] $D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$a$を正の定数とし，曲線$\displaystyle y=a \cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle y=\sin x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$y$軸によって囲まれる部分の面積が$\sqrt{3}-1$であるとする．次の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)曲線$\displaystyle y=a \cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle y=\tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$の交点を求めよ．
(3)曲線$\displaystyle y=a \cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle y=\tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$と$y$軸によって囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

曲線$\displaystyle C_1:y=\tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle C_2:y=2 \sin x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$を考える．曲線$C_1$と曲線$C_2$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

放物線$y=x^2-2x+1$と直線$y=4$とで囲まれた図形を$D$とするとき，下の問いに答えなさい．

(1)$D$の面積$S$を求めなさい．
(2)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めなさい．

すべての実数$x$において，関数$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^\prime(x)$は連続とする．$f(x)$，$f^\prime(x)$が等式
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=1$，および$x$軸，$y$軸で囲まれた部分を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

座標平面上において，曲線$C:y=e^{2x}$上の点$\mathrm{P}(a,\ e^{2a})$における接線$\ell$は原点$\mathrm{O}$を通るとする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int \log t \, dt$および$\displaystyle \int (\log t)^2 \, dt$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．