負でない実数を$a$とする．$xy$平面上で$\displaystyle 0 \leqq x \leqq a,\ 0 \leqq y \leqq \frac{1}{1+x}$を満たす領域を$A$とし，$A$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_1$，$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)$V_1$を求めよ．
(2)$V_2$を求めよ．
(3)$V_1-V_2$が最大となるときの$a$の値を$p$とおく．$p$を求め，$p<1$を示せ．
(4)$p<a<1$において$V_1=V_2$となる$a$が存在することを示せ．ただし，$\log 2<0.7$を使用してもよい．

$a$は定数で，$1<a<e$とする．曲線$C_1:y=x+\log x$上に点$\mathrm{P}(a,\ a+\log a)$，曲線$C_2:y=-\log x$上に点$\mathrm{Q}(a,\ -\log a)$がある．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$\ell_1$，$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線を$\ell_2$とする．このとき，$3$直線$x=0,\ \ell_1,\ \ell_2$で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$3$直線$y=0,\ x=1,\ x=a$で囲まれた部分を$R_1$，$C_2$と2直線$y=0,\ x=a$で囲まれた部分を$R_2$とする．また，$R_1,\ R_2$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体をそれぞれ$B_1,\ B_2$とする．このとき，$B_1$から$B_2$を除いた部分の体積$V$を求めよ．

楕円$\displaystyle O:\frac{x^2}{3}+y^2=1$，直線$\ell:y=x-\alpha (\alpha>0)$，直線$m_t:y=-x+t$がある．楕円$O$と直線$\ell$が接しているとき，次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$の値を求めよ．また，楕円$O$と直線$m_t$が$2$個の共有点をもつように，$t$の値の範囲を定めよ．
(2)直線$\ell$と直線$m_t$の交点を点$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{A}(0,\ -2)$と点$\mathrm{H}$との距離$s$を$t$を用いて表せ．また，楕円$O$と直線$m_t$が$2$個の共有点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもつとき，$(\mathrm{PH})^2-(\mathrm{QH})^2$を$t$を用いて表せ．ただし，$\mathrm{PH}>\mathrm{QH}$とする．
(3)楕円$O$を直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．