「回転体の体積」について
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国立 東北大学 2010年 第5問$0<t<3$のとき，連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
0 \leqq y \leqq \sin x \\
0 \leqq x \leqq t-y
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積を$V(t)$とする．$\displaystyle \frac{d}{dt}V(t)=\frac{\pi}{4}$となる$t$と，そのときの$V(t)$の値を求めよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
0 \leqq y \leqq \sin x \\
0 \leqq x \leqq t-y
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積を$V(t)$とする．$\displaystyle \frac{d}{dt}V(t)=\frac{\pi}{4}$となる$t$と，そのときの$V(t)$の値を求めよ．
国立 静岡大学 2010年 第4問連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
の表す領域を$D$，原点を通る傾き$\displaystyle \tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$の直線を$\ell$とする．$D$を$\ell$のまわりに1回転させてできる回転体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < 0$のとき，$V$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき，$V$の最大値，最小値を求めよ．
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
の表す領域を$D$，原点を通る傾き$\displaystyle \tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$の直線を$\ell$とする．$D$を$\ell$のまわりに1回転させてできる回転体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < 0$のとき，$V$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき，$V$の最大値，最小値を求めよ．
国立 静岡大学 2010年 第4問連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
の表す領域を$D$，原点を通る傾き$\displaystyle \tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$の直線を$\ell$とする．$D$を$\ell$のまわりに1回転させてできる回転体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < 0$のとき，$V$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき，$V$の最大値，最小値を求めよ．
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0 \]
の表す領域を$D$，原点を通る傾き$\displaystyle \tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$の直線を$\ell$とする．$D$を$\ell$のまわりに1回転させてできる回転体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < 0$のとき，$V$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき，$V$の最大値，最小値を求めよ．
国立 岐阜大学 2010年 第4問$xy$平面上で曲線$C:y=\log x$を考える．$p$を正の実数とし，$C$上の点$(p,\ \log p)$における接線を$\ell_p$で表す．以下の問に答えよ．
(1)接線$\ell_p$の方程式を求めよ．
(2)$0<p<1$の範囲で$p$を変化させたとき，接線$\ell_p$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積の最大値を求めよ．
(3)$0<p<1$とする．接線$\ell_p$と$x$軸，曲線$C$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．
(1)接線$\ell_p$の方程式を求めよ．
(2)$0<p<1$の範囲で$p$を変化させたとき，接線$\ell_p$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積の最大値を求めよ．
(3)$0<p<1$とする．接線$\ell_p$と$x$軸，曲線$C$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．
国立 福井大学 2010年 第4問曲線$C:y=e^x$上の点P$(t,\ e^t)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点をQとする．さらに，Qを通り$\ell$に直交する直線と$C$との交点をRとする．以下の問いに答えよ．
(1)点Qの$x$座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\triangle$PQRの外心が$y$軸上にあるときの$t$の値を求めよ．
(3)$t$を(2)で求めた値とするとき，直線PQ，QRと$C$とで囲まれる部分を$x$軸の周りに1回転して得られる回転体の体積を求めよ．
(1)点Qの$x$座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\triangle$PQRの外心が$y$軸上にあるときの$t$の値を求めよ．
(3)$t$を(2)で求めた値とするとき，直線PQ，QRと$C$とで囲まれる部分を$x$軸の周りに1回転して得られる回転体の体積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)曲線$y=2x-2^x$の概形を描け．
(2)曲線$y=2x-2^x$と$x$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．
(1)曲線$y=2x-2^x$の概形を描け．
(2)曲線$y=2x-2^x$と$x$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．
国立 宇都宮大学 2010年 第6問座標平面上に，点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円と点$\mathrm{P}(0,\ h) \ (0<h<2)$がある．点$\mathrm{P}$を通る直線$y=h$と円との交点で第$1$象限にあるものを$\mathrm{Q}$とする．曲線$C:y=\alpha x^2$は点$\mathrm{Q}$を通るとし，$y$軸と曲線$C$および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分を図形$\mathrm{A}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\alpha$を$h$を用いて表せ．
(2)図形$\mathrm{A}$の面積$S$を$h$の式で表し，$S$の最大値を求めよ．
(3)図形$\mathrm{A}$を$y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を$h$の式で表し，$V$の最大値を求めよ．
(4)$S,\ V$は，それぞれ(2)，(3)で求めたものとする．$\displaystyle X=\frac{V}{2\pi S}$とおくとき，$X$の最大値を求めよ．
(1)$\alpha$を$h$を用いて表せ．
(2)図形$\mathrm{A}$の面積$S$を$h$の式で表し，$S$の最大値を求めよ．
(3)図形$\mathrm{A}$を$y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を$h$の式で表し，$V$の最大値を求めよ．
(4)$S,\ V$は，それぞれ(2)，(3)で求めたものとする．$\displaystyle X=\frac{V}{2\pi S}$とおくとき，$X$の最大値を求めよ．
国立 愛知教育大学 2010年 第4問曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{1+x^2}$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$を考える．
(1)曲線$C$と直線$\ell$との交点の座標を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸によって囲まれる図形を，$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸によって囲まれる図形を，$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$W$を求めよ．
(1)曲線$C$と直線$\ell$との交点の座標を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸によって囲まれる図形を，$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\ell$および$y$軸によって囲まれる図形を，$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$W$を求めよ．
国立 宮城教育大学 2010年 第5問関数$\displaystyle f(x)=\int_\alpha^x (t-\alpha)\cos (x-t) \, dt$を考える．ただし，$\alpha$は定数とする．次の問いに答えよ．
(1)$x$を定数とみて，$u=x-t$とおく．置換積分法を用いて，
\[ \int_\alpha^x (t-\alpha)\cos (x-t) \, dt=\int_0^{x-\alpha}(x-\alpha-u)\cos u \, du \]
となることを示せ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)関数$f(x)$を求めよ．
(4)曲線$y=f(x) \ (\alpha \leqq x \leqq \alpha+2\pi)$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$x$を定数とみて，$u=x-t$とおく．置換積分法を用いて，
\[ \int_\alpha^x (t-\alpha)\cos (x-t) \, dt=\int_0^{x-\alpha}(x-\alpha-u)\cos u \, du \]
となることを示せ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)関数$f(x)$を求めよ．
(4)曲線$y=f(x) \ (\alpha \leqq x \leqq \alpha+2\pi)$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第4問曲線$C:y=e^{ax} (a \neq 0)$について次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$C$上の点$(t,\ e^{at})$における接線の方程式を求めよ．さらに，この接線が原点$\mathrm{O}$を通るとき，この接線を$\ell$と表す．接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$，曲線$C$および$y$軸で囲まれた図形$D$の面積が$1$となるような$a$の値を求めよ．
(3)図形$D$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積が$\pi$となるような$a$の値を求めよ．
(1)$C$上の点$(t,\ e^{at})$における接線の方程式を求めよ．さらに，この接線が原点$\mathrm{O}$を通るとき，この接線を$\ell$と表す．接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$，曲線$C$および$y$軸で囲まれた図形$D$の面積が$1$となるような$a$の値を求めよ．
(3)図形$D$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積が$\pi$となるような$a$の値を求めよ．