$f(x)=x+\sqrt{2} \sin x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$と$x$軸および直線$x=2\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int {(\log x)}^2 \, dx$を求めよ．
(2)関数$y=\log x$のグラフを$C$とする．$C$に接し，かつ原点を通る直線$\ell$の式を求めよ．
(3)$C$と$\ell$と$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

$a>0$，$b \geqq 0$のとき，曲線$y=-a \cos \pi x+a+b (0 \leqq x \leqq 1)$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とすると，
\[ V=\frac{\pi}{2}([ノ]a^2+[ハ]ab+[ヒ]b^2) \]
となる．また，ある定数$c$に対し$2a+b=c$が成り立つとすると，$\displaystyle a=\frac{c}{[フ]}$のとき，$V$は最小値$\displaystyle \frac{[ヘ]}{8}\pi c^2$をとる．

$a$は実数で$0 < a < 1$とする．座標平面上の第$1$象限にある曲線$\displaystyle y =\frac{1}{x}$と$2$直線$y = x,\ y = ax$で囲まれる部分$P(a)$の面積を$S(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 2S(\frac{1}{e}) \leqq S(a) \leqq 2S(\frac{1}{e})+1$となる$a$の範囲を求めよ．
(3)$P(a)$を$x$軸の周りに回転して得られる回転体の体積$V(a)$と$\displaystyle \lim_{a \to 0} V(a)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不定積分
\[ I_1=\int \log x \, dx,\quad I_2=\int (\log x)^2 \, dx \]
をそれぞれ求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．
(2)$2$曲線$y=\log (x+1),\ y=\log 2x$と$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

$a$を正の定数とする．原点をOとし，曲線$y=x^3$上に点P$(a,\ a^3)$をとり，線分OPと曲線によって囲まれた部分をAとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)Aを$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(2)Aを$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$W$を求めよ．
(3)直線OPの傾きを$m$とするとき，$\displaystyle \frac{mW}{V}$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\sin^2 x}{x}$の導関数を求めよ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3$に対して，$\displaystyle a_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x} \, dx$とおく．連立不等式
\[ \frac{\pi}{2} \leqq x\leqq 2\pi,\quad 0 \leqq y \leqq |\displaystyle\frac{\sin x|{x}} \]
によって表される領域の部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$a_1$，$a_2$，$a_3$を用いて表せ．

座標空間内で，O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 1,\ 0)$，B$(1,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 1,\ 0)$，D$(0,\ 0,\ 1)$，E$(1,\ 0,\ 1)$，F$(1,\ 1,\ 1)$，G$(0,\ 0,\ 1)$を頂点にもつ立方体を考える．この立方体を対角線OFを軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．

座標空間内で，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0 )$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{E}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{F}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{G}(0,\ 1,\ 1)$を頂点にもつ立方体を考える．

(1)頂点$\mathrm{A}$から対角線$\mathrm{OF}$に下ろした垂線の長さを求めよ．
(2)この立方体を対角線$\mathrm{OF}$を軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．

$3$辺の長さが$a$と$b$と$c$の直方体を，長さが$b$の$1$辺を回転軸として$90^\circ$回転させるとき，直方体が通過する点全体がつくる立体を$V$とする．

(1)$V$の体積を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$a+b+c=1$のとき，$V$の体積のとりうる値の範囲を求めよ．