「回転体の体積」について
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国立 信州大学 2011年 第5問次の問いに答えよ．
(1)次の不定積分を求めよ．
\[ \int \log (1+\sqrt{x}) \, dx \]
(2)点$(1,\ 1)$を中心とする半径$1$の円と，$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．ただし，回転させる図形は円の中心を含まないものとする．
(1)次の不定積分を求めよ．
\[ \int \log (1+\sqrt{x}) \, dx \]
(2)点$(1,\ 1)$を中心とする半径$1$の円と，$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．ただし，回転させる図形は円の中心を含まないものとする．
国立 島根大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=|x|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x\sin 2x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，曲線$C:y=|x|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)関数$y=|x|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x\sin 2x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，曲線$C:y=|x|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=|x|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x\sin 2x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，曲線$C:y=|x|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)関数$y=|x|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x\sin 2x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，曲線$C:y=|x|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 群馬大学 2011年 第1問関数$f(x)=3\sin x-\sin 3x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$のグラフは直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$に関して対称になることを示せ．
(2)$0<x<\pi$のとき，$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)$f(x)$のグラフは直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$に関して対称になることを示せ．
(2)$0<x<\pi$のとき，$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 宇都宮大学 2011年 第6問曲線$C_1$は媒介変数$t$を用いて
\[ x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
と表されるとする．また，曲線$C_2$は
\[ x=t-\sin t,\quad y=1+\cos t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
と表されるとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$は直線$y=1$に関して対称であることを示せ．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
\[ x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
と表されるとする．また，曲線$C_2$は
\[ x=t-\sin t,\quad y=1+\cos t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
と表されるとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$は直線$y=1$に関して対称であることを示せ．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 茨城大学 2011年 第1問$f(x)=e^{-x^2} \ (x \geqq 0)$とする．以下の各問に答えよ．
(1)$x \geqq 0$に対して，不等式$e^x>x$および$\displaystyle e^x>\frac{x^2}{2}$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$および$\displaystyle \lim_{t \to +0} t \log \frac{1}{t}=0$を示せ．
(3)$f(x)$は減少関数であることを示せ．また，$y = f(x)$の逆関数$x = g(y)$を求めよ．
(4)$a$を$0<a<1$を満たす実数とする．$y$軸，$y＝ f(x)$のグラフおよび直線$y = a$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V(a)$を求めよ．
(5)(4)で求めた$V(a)$に対し$\displaystyle \lim_{a \to +0}V(a)$を求めよ．
(1)$x \geqq 0$に対して，不等式$e^x>x$および$\displaystyle e^x>\frac{x^2}{2}$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$および$\displaystyle \lim_{t \to +0} t \log \frac{1}{t}=0$を示せ．
(3)$f(x)$は減少関数であることを示せ．また，$y = f(x)$の逆関数$x = g(y)$を求めよ．
(4)$a$を$0<a<1$を満たす実数とする．$y$軸，$y＝ f(x)$のグラフおよび直線$y = a$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V(a)$を求めよ．
(5)(4)で求めた$V(a)$に対し$\displaystyle \lim_{a \to +0}V(a)$を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第2問媒介変数$t$を用いて$x=t^2,\ y=t^3$と表される曲線を$C$とする．ただし，$t$は実数全体を動くとする．また，実数$a \ (a \neq 0)$に対して，点$(a^2,\ a^3)$における$C$の接線を$\ell_a$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\ell_a$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる．
(3)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$\ell_a$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる．
(3)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第4問媒介変数$t$を用いて$x=t^2,\ y=t^3$と表される曲線を$C$とする．ただし，$t$は実数全体を動くとする．また，実数$a \ (a \neq 0)$に対して，点$(a^2,\ a^3)$における$C$の接線を$\ell_a$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\ell_a$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる．
(3)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$\ell_a$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる．
(3)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 小樽商科大学 2011年 第5問$a>5$とする．円$C:x^2+(y-a)^2=25$を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積は，円$C$を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積の5倍に一致している．このとき，$a$の値を求めよ．
国立 長崎大学 2011年 第6問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において次の不等式を解け．
\[ \sin x+\cos 2x \geqq 0 \]
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，曲線$y=\sin x$と曲線$y=-\cos 2x$および直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{2}$が囲む図形の面積$S$を求めよ．
(3)上の図形の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において次の不等式を解け．
\[ \sin x+\cos 2x \geqq 0 \]
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，曲線$y=\sin x$と曲線$y=-\cos 2x$および直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{2}$が囲む図形の面積$S$を求めよ．
(3)上の図形の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．