「回転体の体積」について
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国立 岡山大学 2012年 第3問$a$を正の定数とし，座標平面上の$2$曲線$C_1:y=e^{x^2},\ C_2:y=ax^2$を考える．このとき以下の問いに答えよ．ただし必要ならば$\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \frac{e^t}{t}=+\infty$であることを用いてもよい．
(1)$t>0$の範囲で，関数$\displaystyle f(t)=\frac{e^t}{t}$の最小値を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1,\ C_2$の共有点の個数を求めよ．
(3)$C_1,\ C_2$の共有点の個数が$2$のとき，これらの$2$曲線で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)$t>0$の範囲で，関数$\displaystyle f(t)=\frac{e^t}{t}$の最小値を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1,\ C_2$の共有点の個数を求めよ．
(3)$C_1,\ C_2$の共有点の個数が$2$のとき，これらの$2$曲線で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 埼玉大学 2012年 第3問$xy$平面上に曲線$C:y=x^2-x$と直線$\ell:y=x$がある．
(1)$\ell$上の点$\mathrm{P} \displaystyle \left( \frac{t}{\sqrt{2}},\ \frac{t}{\sqrt{2}}\right) (0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2})$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．$m$と$C$の共有点のうち，$x$座標が$0$以上のものを$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2}$のとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値とそのときの$t$を求めよ．
(3)$C$と$\ell$で囲まれた部分を$\ell$を軸として$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$\ell$上の点$\mathrm{P} \displaystyle \left( \frac{t}{\sqrt{2}},\ \frac{t}{\sqrt{2}}\right) (0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2})$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．$m$と$C$の共有点のうち，$x$座標が$0$以上のものを$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2}$のとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値とそのときの$t$を求めよ．
(3)$C$と$\ell$で囲まれた部分を$\ell$を軸として$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 信州大学 2012年 第2問$\displaystyle f(x) = \frac{x+\sqrt{3}}{\sqrt{x^2+1}}$について，次の問に答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減，極値，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，変曲点の$y$座標は求めなくてよい．
(2)$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸とで囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$y=f(x)$の増減，極値，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，変曲点の$y$座標は求めなくてよい．
(2)$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸とで囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 横浜国立大学 2012年 第4問次の問いに答えよ．
(1)不定積分
\[ \int x^2\cos (a\log x) \, dx \]
を求めよ．ただし，$a$は0でない定数とする．
(2)曲線$y=x\cos (\log x)$と$x$軸，および$2$直線$\displaystyle x=1,\ x=e^{\frac{\pi}{4}}$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)不定積分
\[ \int x^2\cos (a\log x) \, dx \]
を求めよ．ただし，$a$は0でない定数とする．
(2)曲線$y=x\cos (\log x)$と$x$軸，および$2$直線$\displaystyle x=1,\ x=e^{\frac{\pi}{4}}$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 千葉大学 2012年 第11問$xy$平面において，長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$を点$\mathrm{A}$が原点，点$\mathrm{B}$が点$(1,\ 0)$に重なるように置く．点$\mathrm{A}$を$y$軸に沿って点$(0,\ 1)$まで移動させ，線分$\mathrm{AB}$の長さを$1$に保ったまま点$\mathrm{B}$を$x$軸に沿って原点まで移動させる．このとき線分$\mathrm{AB}$が通る領域を$D$とする．$0 \leqq x \leqq 1$となる実数$x$に対して，点$(x,\ y)$が領域$D$に含まれるような$y$の最大値を$f(x)$とする．
(1)$f(x)$を$x$の式で表せ．
(2)領域$D$を$x$軸を中心に回転させた立体の体積$V$を求めよ．
(1)$f(x)$を$x$の式で表せ．
(2)領域$D$を$x$軸を中心に回転させた立体の体積$V$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2012年 第4問$e$を自然対数の底とし，$\log x$を自然対数とする．次の各問いに答えよ．
(1)$p,\ q$を$p>0,\ q>1$を満たす定数とする．曲線$y=p \log x$と直線$x=q$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を$p,\ q$を使って表せ．
(2)2つの曲線$y=\log x,\ y=3 \log x$と2つの直線$x=e,\ x=e^2$で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(3)(2)で与えられた$D$を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)$p,\ q$を$p>0,\ q>1$を満たす定数とする．曲線$y=p \log x$と直線$x=q$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を$p,\ q$を使って表せ．
(2)2つの曲線$y=\log x,\ y=3 \log x$と2つの直線$x=e,\ x=e^2$で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(3)(2)で与えられた$D$を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 徳島大学 2012年 第3問$f(x)=\sqrt{x}e^{-x} (0 \leqq x \leqq 1)$とする．
(1)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 徳島大学 2012年 第2問$f(x)=\sqrt{x}e^{-x} (0 \leqq x \leqq 1)$とする．
(1)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2012年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$x>0$で
\[ f(x)+\int_1^x \frac{f(t)}{t} \, dt =3x^2-2x \]
を満たす多項式$f(x)$を求めよ．
(2)$x>0$で(1)で求めた$f(x)$と$g(x)=1+3 \log x$を考える．このとき関数$f(x)$と$g(x)$のグラフをかけ．
(3)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x>0 \\
0 \leqq y \leqq 1 \\
g(x) \leqq y \leqq f(x)
\end{array}
\right. \]
を満たす領域の面積を求めよ．
(4)(3)で求めた領域を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$x>0$で
\[ f(x)+\int_1^x \frac{f(t)}{t} \, dt =3x^2-2x \]
を満たす多項式$f(x)$を求めよ．
(2)$x>0$で(1)で求めた$f(x)$と$g(x)=1+3 \log x$を考える．このとき関数$f(x)$と$g(x)$のグラフをかけ．
(3)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x>0 \\
0 \leqq y \leqq 1 \\
g(x) \leqq y \leqq f(x)
\end{array}
\right. \]
を満たす領域の面積を求めよ．
(4)(3)で求めた領域を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 小樽商科大学 2012年 第5問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1 (y \geqq 0)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を積分法を用いて求めよ．
(2)$(1)$のグラフを$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を積分法を用いて求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1 (y \geqq 0)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を積分法を用いて求めよ．
(2)$(1)$のグラフを$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を積分法を用いて求めよ．