関数$f(x)=|x-1| \sqrt{x}$を考える．

(1)関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[ク]}{[ケ]}$で極大値$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]} \sqrt{[シ]}$をとり，$x=[ス]$で極小値$[セ]$をとる．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸によって囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ][チ]}$である．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ][ト]}$である．

次の問に答えよ．

(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(e^{3x}-1)}{1-\cos x}$を求めよ．

(2)関数$y=f(x)$は$0 \leqq x \leqq 3$において連続で，$f(x)>0$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=0$，$x=3$により囲まれた図形を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$6 \pi$であり，$D$を直線$y=-1$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$13 \pi$である．$D$の面積を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle f(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^{100}}{100!}$とおく．$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とするとき，$99!(f(1)-f^\prime(1))$を求めよ．
(2)放物線$y=2-x^2$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} (x+x^3)\sqrt{1+x^2} \, dx$の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$x \geqq 1,\ k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$として
\[ I_k(x)=\int \frac{(\log x)^k}{x^2} \, dx \]
とおくとき，$I_0(x)$を求め，$I_{k+1}(x)$を$I_k(x)$を用いて表せ．また$I_4(x)$を求めよ．

(2)$x>0$で不等式$\displaystyle \log x \leqq \frac{3}{e}x^{\frac{1}{3}}$が成り立つことを証明せよ．

(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$に関する以下の各問いに答えよ．

(i) $y=f(x) (x \geqq 1)$の極値，極限$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$を調べ，増減表を作り，グラフの概形を描け．
(ii) $n>1$として，$y=f(x)$と$2$直線$x=n$，$x=n^2$および$x$軸で囲まれる部分$D_n$の面積$S_n$を求めよ．
(iii) $D_n$を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積$V_n$を求めよ．

\mon[$\tokeishi$] 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{nV_n}{(\log n)S_n}$の値を求めよ．

定数$a (a>1)$に対して曲線$y=a^x$，$x$軸および$y$軸，直線$x=1$で囲まれた図形を$S$とし，曲線$y=a^{2x}$，曲線$y=a^x$および直線$x=1$で囲まれた図形を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S$を$x$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積$V(a)$を求めよ．
(2)$D$を$x$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積$W(a)$を求めよ．
(3)$V(a)=W(a)$となる$a$の値を求めよ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to 1+0} \frac{W(a)}{a-1}$を求めよ．

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)$100$円，$50$円，$10$円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする．ある品物を買うのに$2300$円かかるとき，このお金による支払い方の総数は$[　]$である．
(2)整式$P(x)$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りは$x+1$であり，$x^2-3x+2$で割ったときの余りは$3x-1$である．$P(x)$を$x^3-6x^2+11x-6$で割ったときの余りは$[　]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{2n} (k+n)^2}{\sum_{k=1}^{2n} k^2}$の値は$[　]$である．
(4)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$で表される座標平面上の曲線を$C$とする．曲線$C$上の$x$座標が$s (0<s<1)$である点における接線を$\ell$とする．接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸，$y$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積の最小値は$[　]$である．また，そのときの$s$の値は$[　]$である．
(5)原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$を結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$がある．$\theta=\angle \mathrm{AOP}$とし，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とするとき，$r$は$\theta$の関数として$r=f(\theta)$と表せる．このとき定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta$の値は$[　]$であり，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta)^2 \cos \theta \, d\theta$の値は$[　]$である．
(6)$\mathrm{A}$が$1$枚のカードを，$\mathrm{B}$が$4$枚のカードを持っている．表が出る確率と裏が出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の偏りのないコインを投げて，表が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$からカードを$1$枚もらう．裏が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$にカードを$1$枚わたす．ただし，手もとにカードがなければわたさなくてよい．この試行を$4$回くり返した後，$\mathrm{A}$の手もとに残るカードの枚数の期待値は$[　]$である．

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi}{2}$を満たす直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$について，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{D}$をとり，辺$\mathrm{AB}$と平行で点$\mathrm{D}$を通る直線を$\ell$とする．$\mathrm{AD}=t$とし，$\displaystyle 0<t \leqq \frac{1}{2}$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$を直線$\ell$のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を$V(t)$とする．

(1)$V(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t \leqq \frac{1}{2}$の範囲を動くとき，$V(t)$の最小値を求めよ．

直線$x+y=1$に接する楕円
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>0,\ b>0) \]
を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．

$\displaystyle a^2=\frac{[ヌ]}{[ニ]},\ b^2=\frac{[ネ]}{[ニ]}$のとき，$V$は最大値$\displaystyle \frac{[ハ] \sqrt{3} \pi}{[ノ]}$をとる．

媒介変数表示$\left\{ \begin{array}{l}
x=\theta-\sin \theta \\
y=\cos \theta
\end{array} \right. (0<\theta<2\pi)$で表される曲線$C$について，次の各問に答えよ．

(1)曲線$C$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$\theta$の関数で表せ．
(2)曲線$C$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

$a$を$a>2$を満たす実数とし，
\[ f(t)=\frac{\sin^2 at+t^2}{at \sin at},\quad g(t)=\frac{\sin^2 at-t^2}{at \sin at} \quad \left( 0<|t|<\frac{\pi}{2a} \right) \]
とする．また，$C$を曲線$\displaystyle x^2-y^2=\frac{4}{a^2} \left( x \geqq \frac{2}{a} \right)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$(f(t),\ g(t))$は，曲線$C$上の点であることを示せ．
(2)点$\displaystyle \left( \lim_{t \to 0}f(t),\ \lim_{t \to 0}g(t) \right)$における曲線$C$の法線の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた法線および$x$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を$V(a)$とする．$V(a)$を$a$を用いて表せ．また，$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ．