関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$0<p_1<p_2,\ 1<r_2$とする．中心$\mathrm{O}_1(p_1,\ 0)$，半径$1$の円$C_1$と，中心$\mathrm{O}_2(p_2,\ 0)$，半径$r_2$の円$C_2$は点$\mathrm{T}$で外接している．また円$C_1,\ C_2$はともに放物線$C:x=y^2$に接している．円$C_1$と放物線$C$との接点で第$1$象限にあるものを$\mathrm{Q}_1({q_1}^2,\ q_1)$，円$C_2$と放物線$C$との接点で第$1$象限にあるものを$\mathrm{Q}_2({q_2}^2,\ q_2)$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2,\ r_2$を求めよ．
(2)放物線$C$と弧$\widehat{\mathrm{Q}_1 \mathrm{T}}$および弧$\widehat{\mathrm{Q}_2 \mathrm{T}}$で囲まれた図形を$D$とするとき，$C$，$C_1$，$C_2$の概形をかき，$D$を図示せよ．ただし，ここでいう弧とは，その中心角が$180^\circ$以下のものをいう．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

$2$つの曲線
\[ y=\cos^2 x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \quad \text{と} \quad y=\sin^2 x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
を，それぞれ$C_1$と$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の$2$つの交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．
(3)$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$xyz$空間において，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$を通る平面上にあり，正三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円板を$D$とする．円板$D$の中心を$\mathrm{P}$，円板$D$と辺$\mathrm{AB}$の接点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)円板$D$が平面$z=t$と共有点をもつ$t$の範囲を求めよ．
(3)円板$D$と平面$z=t$の共通部分が線分であるとき，その線分の長さを$t$を用いて表せ．
(4)円板$D$を$z$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）

連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\quad -\cos x \leqq y \leqq \sin 2x \]
の表す領域を$D$とする．以下の各問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)領域$D$の面積を求めよ．
(3)領域$D$を$x$軸のまわりに$1$回転したときにできる立体の体積を求めよ．

曲線$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \ (x \geqq 0)$と曲線$C_2:x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0)$がある．曲線$C_1$の点$\mathrm{P}(\sqrt{s},\ \sqrt{t}) \ (s>0,\ t>0)$における法線を$\ell$とする．次に答えよ．

(1)$s$を$t$を用いて表せ．また，直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が曲線$C_2$に接するときの点$\mathrm{P}$の座標および接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は(2)で求めた点とし，点$(0,\ 1)$を$\mathrm{R}$とする．曲線$C_1$，弧$\mathrm{RQ}$および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

$xy$平面において，曲線$y=e^x$と$3$直線$y=x+1,\ x=1,\ x=-1$で囲まれた部分を$D$とする．ただし$e$は自然対数の底である．次の各問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=e^x-(x+1)$の増減，極値，凹凸を$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で調べ，増減表にまとめよ．
(2)$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．

曲線$C:y=x-1+2 \sqrt{x-1}$に点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$から接線$\ell$を引く．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$および$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$xy$平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ (x>0)$を考える．$0<p<q$のとき，$C$上の$2$点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{1}{p} \right)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( q,\ \frac{1}{q} \right)$を通る直線と$C$で囲まれる図形の面積を$S$とし，その図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．

(1)$\displaystyle r=\frac{q}{p}$とおくとき，$S$および$V$の値を$p,\ r$を用いて表せ．
(2)自然数$n$に対して，$p=3^{n-1}$，$q=3^{n}$のときの$V$の値を$V_n$とおく．無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty V_n$の和を求めよ．

$xy$平面において，曲線$\displaystyle y=\frac{x}{x^2+1}$と$\displaystyle y=\frac{x^2}{2}$の原点以外の交点を$\mathrm{P}$とする．また，この$2$つの曲線で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)$D$の面積を求めなさい．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．