「回転体の体積」について
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(15ページ目:全273問中141問~150問を表示)![京都府立大学](./img/univ/kyotohuritsu.png)
区間$-1 \leqq x \leqq 1$で定義された連続関数$f(x)$を
\[ 12xf(x)+12 \int_0^x f(t) \, dt=15x^3 |x|-16x^3,\quad f(0)=0 \]
によって定める.曲線$C:y=f(x)$を考える.以下の問いに答えよ.
(1)$f(x)$を求めよ.
(2)$f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ.
(3)曲線$C$と直線$\ell:y=a$との区間$-1 \leqq x \leqq 1$における共有点の個数を,$a$の値によって分類せよ.
(4)曲線$C$と$3$直線$y=-1$,$x=-1$,$x=1$で囲まれる部分を,$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.
\[ 12xf(x)+12 \int_0^x f(t) \, dt=15x^3 |x|-16x^3,\quad f(0)=0 \]
によって定める.曲線$C:y=f(x)$を考える.以下の問いに答えよ.
(1)$f(x)$を求めよ.
(2)$f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ.
(3)曲線$C$と直線$\ell:y=a$との区間$-1 \leqq x \leqq 1$における共有点の個数を,$a$の値によって分類せよ.
(4)曲線$C$と$3$直線$y=-1$,$x=-1$,$x=1$で囲まれる部分を,$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.
![横浜国立大学](./img/univ/yokokoku.png)
$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$を満たす$\theta$に対し,$xy$平面の第1象限の点$\mathrm{P}$および$x$軸の正の部分にある点$\mathrm{Q}$を
\[ \angle \mathrm{QOP}=\theta,\quad \angle \mathrm{PQO}=2\theta,\quad \mathrm{PQ}=1 \]
を満たすようにとる.$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする.$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$の範囲を動くとき,$\mathrm{P}$の軌跡を$C_1$,$\mathrm{R}$の軌跡を$C_2$とする.次の問いに答えよ.
(1)$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)$C_1,\ C_2$を求め,それらを図示せよ.
(3)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ.
\[ \angle \mathrm{QOP}=\theta,\quad \angle \mathrm{PQO}=2\theta,\quad \mathrm{PQ}=1 \]
を満たすようにとる.$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする.$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$の範囲を動くとき,$\mathrm{P}$の軌跡を$C_1$,$\mathrm{R}$の軌跡を$C_2$とする.次の問いに答えよ.
(1)$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)$C_1,\ C_2$を求め,それらを図示せよ.
(3)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ.
![大阪大学](./img/univ/osaka.png)
$xyz$空間内の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 0)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる円すいを$V$とする.円すい$V$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.
![名古屋工業大学](./img/univ/nagoyakougyou.png)
$k$を正の定数とする.$2$つの曲線
\[ C_1:y=\cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right),\quad C_2:y=k \tan x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right) \]
について,次の問いに答えよ.
(1)$C_1$と$C_2$の交点におけるそれぞれの曲線の接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする.直線$\ell_1,\ \ell_2$がなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とするとき,$\theta$の値を求めよ.
(2)$\displaystyle k=\frac{3}{2}$のとき,曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
\[ C_1:y=\cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right),\quad C_2:y=k \tan x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right) \]
について,次の問いに答えよ.
(1)$C_1$と$C_2$の交点におけるそれぞれの曲線の接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする.直線$\ell_1,\ \ell_2$がなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とするとき,$\theta$の値を求めよ.
(2)$\displaystyle k=\frac{3}{2}$のとき,曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
![静岡大学](./img/univ/shizuoka.png)
関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{e^{2x}+e^{-2x}}$に対して,曲線$y=f(x)$を$C$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$と$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$,および,$f^{\prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ.
(2)曲線$C$の概形をかけ.
(3)曲線$C$について,傾きが$2$の接線$\ell$の方程式を求めよ.
(4)曲線$C$,(3)で求めた接線$\ell$,直線$x=\log \sqrt{2}$によって囲まれた図形$D$の面積を求めよ.
(5)(4)の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$と$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$,および,$f^{\prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ.
(2)曲線$C$の概形をかけ.
(3)曲線$C$について,傾きが$2$の接線$\ell$の方程式を求めよ.
(4)曲線$C$,(3)で求めた接線$\ell$,直線$x=\log \sqrt{2}$によって囲まれた図形$D$の面積を求めよ.
(5)(4)の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
![富山大学](./img/univ/toyama.png)
関数$f(x)=x+2 \sin x$を考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の増減を調べ,そのグラフをかけ.
(2)$0<x<2\pi$において関数$f(x)$が極値をとるときの$x$の値を$\alpha,\ \beta \ (0<\alpha<\beta<2\pi)$とする.曲線$y=f(x)$の$\alpha \leqq x \leqq \beta$の部分と$x$軸,および$2$直線$x=\alpha$,$x=\beta$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.
(1)$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の増減を調べ,そのグラフをかけ.
(2)$0<x<2\pi$において関数$f(x)$が極値をとるときの$x$の値を$\alpha,\ \beta \ (0<\alpha<\beta<2\pi)$とする.曲線$y=f(x)$の$\alpha \leqq x \leqq \beta$の部分と$x$軸,および$2$直線$x=\alpha$,$x=\beta$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.
![富山大学](./img/univ/toyama.png)
直線$y=ax (a>0)$と$x$軸,および直線$x=1$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とし,曲線$y=x+\sin x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$と$x$軸,および直線$x=2\pi$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$W$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$V$を$a$を用いて表せ.
(2)$0<x \leqq 2\pi$において,$x+\sin x>0$であることを示せ.
(3)$W$の値を求めよ.
(4)$V=W$のとき,$a$の値を求めよ.
(1)$V$を$a$を用いて表せ.
(2)$0<x \leqq 2\pi$において,$x+\sin x>0$であることを示せ.
(3)$W$の値を求めよ.
(4)$V=W$のとき,$a$の値を求めよ.
![富山大学](./img/univ/toyama.png)
関数$f(x)=x+2 \sin x$を考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の増減を調べ,そのグラフをかけ.
(2)$0<x<2\pi$において関数$f(x)$が極値をとるときの$x$の値を$\alpha,\ \beta \ (0<\alpha<\beta<2\pi)$とする.曲線$y=f(x)$の$\alpha \leqq x \leqq \beta$の部分と$x$軸,および$2$直線$x=\alpha$,$x=\beta$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.
(1)$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の増減を調べ,そのグラフをかけ.
(2)$0<x<2\pi$において関数$f(x)$が極値をとるときの$x$の値を$\alpha,\ \beta \ (0<\alpha<\beta<2\pi)$とする.曲線$y=f(x)$の$\alpha \leqq x \leqq \beta$の部分と$x$軸,および$2$直線$x=\alpha$,$x=\beta$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ.
![岩手大学](./img/univ/iwate.png)
実数$a>0$と$k>0$に対して$2$つの曲線
\[ C_1:y=ax^2,\quad C_2:y=k \log x \quad (x>0) \]
を考える.ここで,$\log x$は$x$の自然対数とする.$C_1$と$C_2$がただ$1$点を共有し,その点における接線が一致するとき,次の問いに答えよ.
(1)共有点の$x$座標を求めよ.
(2)$k$を$a$を用いて表せ.
(3)$k=2e$のとき,$C_1$,$C_2$および$x$軸で囲まれた部分を$D$とする.$D$の面積$S$を求めよ.ただし,$e$は自然対数の底とする.
(4)(3)の$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ.
\[ C_1:y=ax^2,\quad C_2:y=k \log x \quad (x>0) \]
を考える.ここで,$\log x$は$x$の自然対数とする.$C_1$と$C_2$がただ$1$点を共有し,その点における接線が一致するとき,次の問いに答えよ.
(1)共有点の$x$座標を求めよ.
(2)$k$を$a$を用いて表せ.
(3)$k=2e$のとき,$C_1$,$C_2$および$x$軸で囲まれた部分を$D$とする.$D$の面積$S$を求めよ.ただし,$e$は自然対数の底とする.
(4)(3)の$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ.
![宮城教育大学](./img/univ/miyagikyouiku.png)
以下の問いに答えよ.
(1)$a>0$のとき,
\[ S(a)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin 2x-a \cos x| \, dx \]
とする.$S(a)$の最小値を求めよ.
(2)$a>2$のとき,$2$曲線$\displaystyle y=\sin 2x,\ y=a \cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$y$軸で囲まれる図形を考える.この図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$a$を用いて表せ.
(1)$a>0$のとき,
\[ S(a)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin 2x-a \cos x| \, dx \]
とする.$S(a)$の最小値を求めよ.
(2)$a>2$のとき,$2$曲線$\displaystyle y=\sin 2x,\ y=a \cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$y$軸で囲まれる図形を考える.この図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$a$を用いて表せ.