関数$f(x)=2x \sqrt{2+x^2}$について考える．

(1)導関数$f^\prime(x)=[ア]$である．
(2)第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)=[イ]$であり，$x=[ウ]$のとき$f^{\prime\prime}(x)=0$となる．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれた部分の面積は$[エ]$である．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$[オ]$である．

関数$f(x)=2x+\cos x$がある．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$C$とし，$C$と直線$y=2x$，および直線$x+2y=2$で囲まれた領域を$D$とする．領域$D$を直線$y=2x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよう．
（図は省略）

$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$から直線$y=2x$に下ろした垂線と直線$y=2x$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
線分$\mathrm{PQ}$の長さは
\[ \frac{|\cos t|}{\sqrt{[ア]}} \]
であり，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は
\[ t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \]
である．これから，$\mathrm{OQ}=s$とおくと
\[ s=\sqrt{[エ]} \left( t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \right) \]
である．
$f^\prime(x)=2-\sin x>0$なので$f(x)$は増加する．よって，求める体積$V$は

$\displaystyle V=\int_{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}^{\frac{\sqrt{5} \pi}{2}} \pi \mathrm{PQ}^2 \, ds$

$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[オ]} \pi}{[カ]} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 t-\frac{[キ]}{[ク]} \cos^2 t \sin t \right) \, dt$

$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[ケ]} \pi^2}{[コサ]}-\frac{[シ] \sqrt{[ス]} \pi}{[セソ]}$
である．

次の空欄$[$19$]$～$[$42$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$19$]$，$[$21$]$には$+$または$-$の記号が入る．

(1)原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円と直線$y=-2x$との交点のうち，$y$座標が正となる点を$\mathrm{A}$とする．線分$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta (0^\circ<\theta<{180}^\circ)$とする．

(i) $\tan \theta=[$19$][$20$]$であり，
$\cos \theta=[$21$] \frac{\sqrt{[$22$]}}{[$23$]}$であり，

点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( -\sqrt{[$24$]},\ [$25$] \sqrt{[$26$]} \right)$である．
(i) 点$(3 \sqrt{5},\ 0)$を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{AB}=[$27$][$28$]$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[$29$] \sqrt{[$30$]}}{[$31$]}$である．

(2)下図のように半径$r$の扇形$\mathrm{ABC}$があり，$\angle \mathrm{CAB}={90}^\circ$とする．直線$\mathrm{CA}$の延長線上に点$\mathrm{D}$をとり，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ADB}=\frac{1}{5}$とする．この扇形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{ADB}$の両方からなる図形を直線$\mathrm{CD}$を軸として回転させてできる立体の表面積を$S$，体積を$V$とする．

(i) $\displaystyle r=\frac{3}{2}$のときの$S$は，$r=1$のときの$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}$倍であり，$V$は$r=1$のときの$\displaystyle \frac{[$34$][$35$]}{[$36$][$37$]}$倍である．
(ii) $r=1$のとき，$S=[$38$] \pi$であり，
$\displaystyle V=\frac{[$39$]}{[$40$]} \left( [$41$]+\sqrt{[$42$]} \right) \pi$である．
（図は省略）

座標平面の曲線$C:y=\sqrt{x^2+9}$上の点$\mathrm{A}(4,\ 5)$における接線を$L$とする．

(1)接線$L$の方程式は
\[ y=\frac{[ア]}{[イ]}x+\frac{[ウ]}{[エ]} \]
である．
(2)曲線$C$，接線$L$および$y$軸とで囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とすれば
\[ V=\frac{[オカ]}{[キ]} \pi \]
である．

$xy$平面上に関数$y=e^x$のグラフ$C_1$と関数$y=a \sqrt{x} (a>0)$のグラフ$C_2$があり，ただ$1$つの共有点$\mathrm{A}$をもち，点$\mathrm{A}$で同一の接線をもつ．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$の$x$座標と$a$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$と$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$の図形を$x$軸で$1$回転させた回転体の体積を求めよ．

$xy$平面において，$x$軸の正の部分に中心$\mathrm{A}$をもつ半径$1$の円$C$が，直線$\displaystyle y=x \tan t (0<t<\frac{\pi}{2})$に点$\mathrm{P}$で接している．以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めなさい．
(2)$x$軸の正の部分と円$C$と直線$y=x \tan t$で囲まれる部分を$x$軸のまわりに回転した立体の体積$V(t)$を求めなさい．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{t \to +0}tV(t)$を求めなさい．

$f(x)=x^4-2x^3+2x+4$，$g(x)=-1-3 \sqrt{|x-1|}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，変曲点に留意しなくてよい．
(2)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$，および$2$つの直線$x=-1$と$x=2$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

曲線$y=\log (kx)$を$C$とする．曲線$C$，原点$\mathrm{O}$を通る曲線$C$の接線$\ell$，$x$軸とで囲まれた図形を$D$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$k$は正の定数とする．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_x$を求めよ．
(3)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_y$を求めよ．
(4)$V_x=V_y$となる$k$の値を求めよ．

$a$を定数とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{1-a \cos x}{1+\sin x} (0 \leqq x \leqq \pi)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{-\cos x}{1+\sin x} (0<x<\pi)$とおくとき，$\displaystyle \frac{dx}{dt}$を$t$で表せ．
(2)$f(x)$が$0<x<\pi$の範囲で極値をもつように$a$の値の範囲を定めよ．また，その極値を$a$で表せ．
(3)$a$が$(2)$で定めた範囲にあるとき，$2$点$(0,\ f(0))$，$(\pi,\ f(\pi))$を通る直線と$y=f(x)$のグラフで囲まれる図形を$x$軸の周りに回転してできる回転体の体積を$a$で表せ．

$xy$平面上に動点$\mathrm{P}(t,\ 2t)$，$\mathrm{Q}(t-1,\ 1-t)$がある．ただし，$0 \leqq t \leqq 1$とする．次の問いに答えよ．

(1)実数$k$に対して直線$x=k$と直線$\mathrm{PQ}$との交点を求めよ．
(2)閉区間$[-1,\ 1]$内の定数$a$に対し，直線$x=a$と線分$\mathrm{PQ}$との交点の$y$座標のとり得る範囲を$a$で表せ．
(3)$t$が$0$から$1$まで動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が動く領域$S$の面積を求めよ．
(4)$S$を$x$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積を求めよ．