「回転体の体積」について
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国立 島根大学 2014年 第3問点$(0,\ 5)$を通る直線$\ell$と楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)楕円$C$と共有点をもつ直線$\ell$の方程式をすべて求めよ．
(2)楕円$C$と直線$\ell$が接するとき，その接点の座標を求めよ．
(3)楕円$C$と直線$\ell$が第一象限で接するとき，$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)楕円$C$と共有点をもつ直線$\ell$の方程式をすべて求めよ．
(2)楕円$C$と直線$\ell$が接するとき，その接点の座標を求めよ．
(3)楕円$C$と直線$\ell$が第一象限で接するとき，$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において
\[ \frac{2}{\pi}x \leqq \sin x \leqq x \]
が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$D_1$を曲線$y=\sin x$と$2$直線$y=x$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形とし，$D_2$を曲線$y=\sin x$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{\pi}x$で囲まれた図形とする．$D_1$，$D_2$の面積を求め，どちらの面積が大きいか調べよ．
(3)$D_2$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において
\[ \frac{2}{\pi}x \leqq \sin x \leqq x \]
が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$D_1$を曲線$y=\sin x$と$2$直線$y=x$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形とし，$D_2$を曲線$y=\sin x$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{\pi}x$で囲まれた図形とする．$D_1$，$D_2$の面積を求め，どちらの面積が大きいか調べよ．
(3)$D_2$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において
\[ \frac{2}{\pi}x \leqq \sin x \leqq x \]
が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$D_1$を曲線$y=\sin x$と$2$直線$y=x$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形とし，$D_2$を曲線$y=\sin x$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{\pi}x$で囲まれた図形とする．$D_1$，$D_2$の面積を求め，どちらの面積が大きいか調べよ．
(3)$D_2$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において
\[ \frac{2}{\pi}x \leqq \sin x \leqq x \]
が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$D_1$を曲線$y=\sin x$と$2$直線$y=x$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形とし，$D_2$を曲線$y=\sin x$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{\pi}x$で囲まれた図形とする．$D_1$，$D_2$の面積を求め，どちらの面積が大きいか調べよ．
(3)$D_2$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．
国立 電気通信大学 2014年 第2問$2$つの関数
\[ f(x)=x \sqrt{4-x^2} (0 \leqq x \leqq 2),\quad g(y)=\sqrt{4-y^2} (0 \leqq y \leqq 2) \]
を考える．座標平面上において，曲線$y=f(x)$を$C_1$とし，曲線$x=g(y)$を$C_2$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$との共有点の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$の最大値$M$を求めよ．
(3)$C_1$と$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が$C_1$上にあるとき，$x^2$を$y$を用いて表せ．
(5)$y$軸および$2$曲線$C_1$，$C_2$で囲まれた図形を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
\[ f(x)=x \sqrt{4-x^2} (0 \leqq x \leqq 2),\quad g(y)=\sqrt{4-y^2} (0 \leqq y \leqq 2) \]
を考える．座標平面上において，曲線$y=f(x)$を$C_1$とし，曲線$x=g(y)$を$C_2$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$との共有点の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$の最大値$M$を求めよ．
(3)$C_1$と$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が$C_1$上にあるとき，$x^2$を$y$を用いて表せ．
(5)$y$軸および$2$曲線$C_1$，$C_2$で囲まれた図形を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 長崎大学 2014年 第4問区間$0 \leqq x \leqq \pi$において，関数$f(x)$と関数$g(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{2} \cos x,\quad g(x)=\cos \frac{x}{2}+c \]
と定義する．$c$は定数である．次の問いに答えよ．
(1)区間$0 \leqq x \leqq \pi$において，$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$が$x=0$以外の点で接するように$c$の値を定め，接点$(p,\ q)$を求めよ．また，そのとき，区間$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$f(x)$と関数$g(x)$の大小関係を調べよ．
(2)定数$c$と接点$(p,\ q)$は$(1)$で求めたものとする．そのとき，区間$0 \leqq x \leqq p$において，$y$軸および$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$によって囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
\[ f(x)=\frac{1}{2} \cos x,\quad g(x)=\cos \frac{x}{2}+c \]
と定義する．$c$は定数である．次の問いに答えよ．
(1)区間$0 \leqq x \leqq \pi$において，$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$が$x=0$以外の点で接するように$c$の値を定め，接点$(p,\ q)$を求めよ．また，そのとき，区間$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$f(x)$と関数$g(x)$の大小関係を調べよ．
(2)定数$c$と接点$(p,\ q)$は$(1)$で求めたものとする．そのとき，区間$0 \leqq x \leqq p$において，$y$軸および$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$によって囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
私立 甲南大学 2014年 第3問関数$f(x)=\sin x$，$g(x)=\cos x+1$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．
(1)曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$によって囲まれる図形$D$の面積を求めよ．
(3)$(2)$で求めた図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$によって囲まれる図形$D$の面積を求めよ．
(3)$(2)$で求めた図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
私立 龍谷大学 2014年 第4問関数$f(x)=(x^2-2)^2$について考える．
(1)$f(x)$の増減と極値を調べ，それをもとに$y=f(x)$のグラフの概形を描きなさい．
(2)$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．
(1)$f(x)$の増減と極値を調べ，それをもとに$y=f(x)$のグラフの概形を描きなさい．
(2)$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．
私立 金沢工業大学 2014年 第6問原点$\mathrm{O}$を通り，曲線$y=2+2 \log x$に接する直線を$\ell$とし，その接点を$\mathrm{A}$とする．また，この曲線と直線$\ell$，および$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．
(1)この曲線と$x$軸との交点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ア]}{e}$である．
(2)接点$\mathrm{A}$の座標は$([イ],\ [ウ])$である．
(3)図形$D$の面積は$\displaystyle [エ]-\frac{[オ]}{e}$である．
(4)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[カ]([キ]-e)}{[ク]e} \pi$である．
(1)この曲線と$x$軸との交点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ア]}{e}$である．
(2)接点$\mathrm{A}$の座標は$([イ],\ [ウ])$である．
(3)図形$D$の面積は$\displaystyle [エ]-\frac{[オ]}{e}$である．
(4)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[カ]([キ]-e)}{[ク]e} \pi$である．
私立 早稲田大学 2014年 第4問不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9} \geqq 1 \\
-3 \leqq x \leqq 3 \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]} \pi$である．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9} \geqq 1 \\
-3 \leqq x \leqq 3 \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]} \pi$である．
私立 津田塾大学 2014年 第3問下図は，半径$1$の円を底面とする高さ$1$の円柱を，底面に垂直な平面で切り取ったものである．ここで，線分$\mathrm{OA}$は底面に垂直である．また，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$は点$\mathrm{A}$を通り線分$\mathrm{OA}$に垂直な平面上にあり，線分$\mathrm{AF}$と$\mathrm{BE}$は垂直である．さらに，$\mathrm{F}$は線分$\mathrm{BE}$の中点であり，$\displaystyle \mathrm{AF}=\frac{3}{2}$である．線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{X}$をとり，$\mathrm{OX}=t$とする．$\mathrm{X}$を通り，線分$\mathrm{OA}$に垂直な平面と線分$\mathrm{EC}$との交点を$\mathrm{G}$とする．
（図は省略）
(1)$\mathrm{BF}$を求めよ．
(2)$\mathrm{XG}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{X}$が$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}$まで動くとき，線分$\mathrm{XG}$を線分$\mathrm{OA}$の周りに回転してできる図形が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{BF}$を求めよ．
(2)$\mathrm{XG}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{X}$が$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}$まで動くとき，線分$\mathrm{XG}$を線分$\mathrm{OA}$の周りに回転してできる図形が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．