曲線$C$は媒介変数$t (0 \leqq t \leqq 2\pi)$によって，$x=t-\sin t$，$y=1-\cos t$と表される．

(1)$x$は$t$の関数として増加関数であることを示せ．
(2)$0<t<2\pi$のとき，$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$t$を用いた式で表せ．また，$y$の$x$に関する増減を調べよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \cos^2 t \, dt$および$\displaystyle \int \cos^3 t \, dt$を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=-\tan x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4} \right)$，$\displaystyle g(x)=\sin 2x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4} \right)$について，次に答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$，$\displaystyle \int \tan^2 x \, dx$を求めよ．
(2)$b>0$とする．曲線$y=g(x)$および$3$直線$y=-b$，$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を直線$y=-b$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_1$を$b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$のとき，不等式$f(x)+g(x) \geqq 0$を示せ．
(4)$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$および直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を直線$\displaystyle y=-\frac{1}{\sqrt{3}}$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_2$を求めよ．

$xy$平面上の曲線$C:y=\sqrt{x}$がある．曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{t}) (t>0)$における接線を$\ell$とする．さらに，直線$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PR}$とするとき，$\triangle \mathrm{PQR}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$t$を用いて表せ．
(4)曲線$C$，直線$\ell$および$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$t$を用いて表せ．

以下の問いに答えよ．

(1)連立不等式$x^2+y^2 \leqq 25,\ y \geqq 4$を満たす領域を$y$軸の周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ．
(2)連立不等式$x^2+y^2 \leq 25,\ x \geqq 4,\ y \geqq 0$を満たす領域を$y$軸の周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ．
(3)連立不等式$x^2+y^2 \leqq 25,\ 0 \leqq x \leqq 4,\ 0 \leqq y \leqq 4$を満たす領域の面積を求めよ．ただし，$\displaystyle \sin \theta_0=\frac{3}{5}$を満たす角$\displaystyle \theta_0 \left( 0<\theta_0<\frac{\pi}{2} \right)$を使用せよ．

曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{P}(1,\ 0)$における接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$y=\log x$の交点を$\mathrm{R}$とする．ここで，対数は自然対数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$と曲線$y=\log x$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{P}(1,\ 0)$における接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$y=\log x$の交点を$\mathrm{R}$とする．ここで，対数は自然対数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$と曲線$y=\log x$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

座標平面上の曲線$C$は媒介変数$t (t \geqq 0)$を用いて$x=t^2+2t+\log (t+1)$，$y=t^2+2t-\log (t+1)$と表される．$C$上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$における$C$の接線の傾きが$\displaystyle \frac{2e-1}{2e+1}$であるとする．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を座標$(b,\ a)$の点とする．直線$\mathrm{PQ}$，直線$y=x$と曲線$C$で囲まれた図形を，直線$y=x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}(x+1)x & (-1 \leqq x \leqq 0 \text{のとき}) \\
-\displaystyle\frac{1}{2}x(x-1) & (0<x \leqq 1 \text{のとき}) \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)$y=f^\prime(x)$のグラフを$-1<x<1$の範囲でかき，$f^\prime(x)$が$x=0$で微分可能かどうかを理由をつけて述べよ．
(4)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線が点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2 \sqrt{2}} \right)$を通るような$t$の値を求めよ．
(3)$t$を$(2)$で求めた値とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=t$によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |x-2t| \sin t \, dt$で定める（$0 \leqq x \leqq \pi$）．次の問に答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．ただし，$a>0$とする．
\[ \int t \sin at \, dt,\quad \int \sin^2 \frac{t}{2} \, dt \]
(2)$f(x)$の最小値を求め，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)-f(0)$と$x$軸および直線$x=\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転して得られる回転体の体積$V$を求めよ．