「回転体の体積」について
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国立 京都大学 2016年 第4問$xyz$空間において，平面$y=z$の中で
\[ |x| \leqq \frac{e^y+e^{-y}}{2}-1,\quad 0 \leqq y \leqq \log a \]
で与えられる図形$D$を考える．ただし$a$は$1$より大きい定数とする．
この図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
\[ |x| \leqq \frac{e^y+e^{-y}}{2}-1,\quad 0 \leqq y \leqq \log a \]
で与えられる図形$D$を考える．ただし$a$は$1$より大きい定数とする．
この図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 東京海洋大学 2016年 第5問$f(x)=\sqrt{x}e^{-\frac{x}{2}}$（ただし，$x>0$）に対し，座標平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$，$2$直線$x=t$，$x=t+1$（ただし，$t>0$）および$x$軸で囲まれる図形を，$x$軸の周りに$1$回転して得られる立体の体積$V$を$t$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$，$2$直線$x=t$，$x=t+1$（ただし，$t>0$）および$x$軸で囲まれる図形を，$x$軸の周りに$1$回転して得られる立体の体積$V$を$t$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．
国立 神戸大学 2016年 第3問$a$を正の定数とし，$2$曲線$C_1:y=\log x$，$C_2:y=ax^2$が点$\mathrm{P}$で接しているとする．以下の問に答えよ．
(1)$\mathrm{P}$の座標と$a$の値を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$と$x$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)$\mathrm{P}$の座標と$a$の値を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$と$x$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 大分大学 2016年 第4問$2$つの曲線$\displaystyle y=x+2 \cos x \left( \frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi \right)$と$\displaystyle y=x-2 \cos x \left( \frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi \right)$をつないでできる曲線を$C$とする．
(1)曲線$C$の概形を図示しなさい．
(2)$k$を実数とする．曲線$C$と直線$y=k$が異なる$2$点で交わるための$k$の値の範囲を求めなさい．
(3)曲線$C$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．
(1)曲線$C$の概形を図示しなさい．
(2)$k$を実数とする．曲線$C$と直線$y=k$が異なる$2$点で交わるための$k$の値の範囲を求めなさい．
(3)曲線$C$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．
国立 三重大学 2016年 第4問$\log x$は$x$の自然対数とする．
(1)$2$と$\log 4$の大小関係を，理由をつけて述べよ．必要ならば$e=2.718 \cdots$を用いてよい．さらに$x>0$のとき$\sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)$x>1$のとき，$\displaystyle y=\frac{x}{\log x}$の増減，極値およびグラフの凹凸を調べ，このグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{\log x}} (e \leqq x \leqq e^2)$と$\displaystyle y=\frac{1}{\log x} (e \leqq x \leqq e^2)$，および$x=e^2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$2$と$\log 4$の大小関係を，理由をつけて述べよ．必要ならば$e=2.718 \cdots$を用いてよい．さらに$x>0$のとき$\sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)$x>1$のとき，$\displaystyle y=\frac{x}{\log x}$の増減，極値およびグラフの凹凸を調べ，このグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{\log x}} (e \leqq x \leqq e^2)$と$\displaystyle y=\frac{1}{\log x} (e \leqq x \leqq e^2)$，および$x=e^2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 静岡大学 2016年 第3問次の各問に答えよ．
(1)$x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)定積分$I_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する．
\[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \]
ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (*) \]
(4)等式$(*)$を用いて，関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)定積分$I_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する．
\[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \]
ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (*) \]
(4)等式$(*)$を用いて，関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 筑波大学 2016年 第4問関数$f(x)=2 \sqrt{x} e^{-x} (x \geqq 0)$について次の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい．
(2)$k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ．
(3)$(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい．
(2)$k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ．
(3)$(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 大阪大学 2016年 第3問座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円と放物線$y=\sqrt{2}(x-1)^2$は，ただ$1$つの共有点$(a,\ b)$をもつとする．
(1)$a,\ b,\ r$の値をそれぞれ求めよ．
(2)連立不等式
\[ a \leqq x \leqq 1,\quad 0 \leqq y \leqq \sqrt{2}(x-1)^2,\quad x^2+y^2 \geqq r^2 \]
の表す領域を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$a,\ b,\ r$の値をそれぞれ求めよ．
(2)連立不等式
\[ a \leqq x \leqq 1,\quad 0 \leqq y \leqq \sqrt{2}(x-1)^2,\quad x^2+y^2 \geqq r^2 \]
の表す領域を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第4問半直線$\ell:y=x (x \geqq 0)$，放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ．
(2)$t \geqq 0$とする．原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき，$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と，放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を，半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ．
(2)$t \geqq 0$とする．原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき，$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と，放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を，半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第4問半直線$\ell:y=x (x \geqq 0)$，放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ．
(2)$t \geqq 0$とする．原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき，$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と，放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を，半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ．
(2)$t \geqq 0$とする．原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき，$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と，放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を，半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．