次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)コインを$2$回投げたとき表の出る回数を$X$，さいころを$1$回投げたとき出る目の数を$Y$とする．$X+Y=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[][]}$であり，$X+Y=2$となる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．$X+Y$の期待値は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

(2)$n$を$3$の倍数でない自然数とする．
$n^3$を$9$で割った余りは$[　]$または$[　]$（ただし$[　]<[　]$）であり，$n^9$を$27$で割った余りは$[　]$または$[][]$である．

次の問いに答えなさい．

(1)$2$次方程式$x^2+x+p=0$の$2$解$\alpha,\ \beta$に対して$\alpha^2-\beta^2=3$となるとき，$p=[　]$である．
(2)$xy$座標平面上で，$x$座標と$y$座標がいずれも整数である点を格子点という．$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$x+2y \leqq 100$を同時に満たす格子点の個数は$[　]$である．
(3)関数$f(x)=a(\log_3 x)^2+\log_9 bx$が，$\displaystyle x=\frac{1}{3}$で最小値$\displaystyle \frac{1}{4}$をとるとき，$(a,\ b)=[　]$である．
(4)関数$\displaystyle y=2 \sin \left( 2x+\frac{\pi}{2} \right)$のグラフを描きなさい．
(5)表と裏が等確率で出るコインを$n$回投げ，表が出る回数が$0$回ならば$0$点，$1$回ならば$x$点，$2$回以上ならば$y$点とするゲームを考え，その点数の期待値を$E_n$とする．$n \geqq 2$の$n$に対して，不等式$E_n \geqq y$が$n$によらずに成り立つとき，$x$と$y$の間の関係を調べなさい．ただし，$x$と$y$は正とする．

ある作業をするためにかかる時間は，作業回数に応じて変化し，$n$回目の作業時間$T_n$秒は，以下の式で示される．
\[ T_n=T_1 \cdot n^{-k} \]
ただし，$T_1$は$1$回目の作業時間，$k$は作業の種類によって異なる正の定数である．$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}2=0.3010$として次の問いに答えなさい．

(1)作業$\mathrm{A}$の$1000$回目の作業時間が$150$秒，$2000$回目の作業時間が$50$秒であるときに，$k$の値を四捨五入して小数第$3$位まで求めよ．
(2)作業$\mathrm{B}$の$100$回目の作業時間が$1$回目の作業時間の半分になった．このときの$k$の値を，四捨五入して小数第$3$位まで求めよ．また，作業時間が$100$回目のさらに半分に縮まるのは，何回目の作業か．

$1$個のさいころを$n$回（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）投げたとき，$1$の目が出る回数が偶数となる確率を$p_n$，奇数となる確率を$q_n$とする．ただし，$0$は偶数に含まれるものとする．以下の問いに答えよ．

(1)$p_1,\ q_1,\ p_2,\ q_2$をそれぞれ求めよ．
(2)$p_{n+1},\ q_{n+1}$をそれぞれ$p_n$と$q_n$を用いて表せ．
(3)$p_n-q_n$を$n$を用いて表せ．
(4)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

次の空欄$[タ]$から$[ト]$にあてはまる数や式を書きなさい．

次のような整数の数列$\{a_n\}$がある．
$1,\ 1,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ \cdots,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n-2,\ n-1,\ n,\ n-1,\ \cdots,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots$
ここで，$a_1=1$だけからなる群を第$1$群，$a_2=1,\ a_3=2,\ a_4=1$からなる群を第$2$群と呼ぶことにする．一般に，$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \cdots,\ k-1,\ k,\ k-1,\ \cdots,\ 3,\ 2,\ 1$からなる群を第$k$群と呼ぶことにする．
このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)第$n$群の項数を$n$を用いて表せば$[タ]$個となる．
(2)第$n$群に属する項すべての整数の和を$n$を用いて表せば$[チ]$となる．
(3)整数$7$が，数列$\{a_n\}$の初項から「第$n$群に含まれる最後の項」までの間に現れる回数を$n$を用いて表せば$[ツ]$回となる．ただし，$n$は$7$以上の自然数とする．
(4)数列$\{a_n\}$の第$364$項は第$[テ]$群に属し，その第$[テ]$群の先頭から$[ト]$番目の項である．

次のようなゲームについて以下の問に答えよ．

カードが$5$枚伏せてある．$1$回の試行ではカードをかき混ぜて$1$枚をでたらめに選んでめくり，出たカードの番号に対応する賞品がもらえる．$5$種類の賞品をすべてあつめるのが目的である．ただし，めくったカードはその都度戻すものとする．
ここで，すでに$k$種類の賞品を持っている状況で試行を$1$回行ってまだ持っていない賞品がもらえる確率を$P_k$で表すとする（$0 \leqq k \leqq 4$）．$P_0=1$である．

(1)$P_1$の値を求めよ．
(2)$P_k$を$k$を用いた式で表せ．
(3)$5$回の試行で賞品が全種類そろう確率を求めよ．その際，考え方を説明し，確率を求める式も示せ．
(4)試行を$5$回行った時点で得られている賞品が$4$種類だけである確率を求めよ．その際，考え方を説明し，確率を求める式も示せ．
(5)ある事象が起きる確率が$x$であるとき，その事象が起きるまで繰り返し試行を行うならば，必要な試行回数の期待値は$\displaystyle \frac{1}{x}$だと知られている．ここで，賞品を$k$種類（$0 \leqq k \leqq 4$）持っている状況から始めてまだ持っていない賞品のいずれか$1$つが得られるまでの試行回数の期待値を$Q_k$で表すとする（$0 \leqq k \leqq 4$）．$Q_k$を$P_k$を用いた式で表せ．さらに$k$を用いた（$P_k$を使わない）形で式を表せ．
(6)賞品を$n$種類持っている状況から始めて賞品が$m$種類そろうまでの試行回数の期待値は$\displaystyle \sum_{k=n}^{m-1} Q_k$となる．ただし，$0 \leqq n<m \leqq 4$である．賞品を$1$つも持っていない状況から$4$種類そろうまでと，$4$種類そろった状況から最後の$1$種類が出るまでと，試行回数の期待値はどちらが大きいか．計算して求めよ．

袋A，袋Bのそれぞれに，1から$N$の自然数がひとつずつ書かれた$N$枚のカードが入っている．これらのカードをよくかきまぜて取り出していく．以下の問いに答えよ．

(1)$N=4$とする．袋A，Bのそれぞれから同時に1枚ずつカードを取り出し，数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す．ただし，取り出したカードは元には戻さないものとする．4回のカードの取り出し操作が終わった後，数字が一致していた回数を$X$とする．$X=1,\ X=2,\ X=3,\ X=4$となる確率をそれぞれ求めよ．また$X$の期待値を求めよ．
(2)$N=3$とし，$n$は自然数とする．袋A，Bのそれぞれから同時に1枚ずつカードを取り出し，カードの数字が一致していたら，それらのカードを取り除き，一致していなかったら，元の袋に戻すという操作を繰り返す．カードが初めて取り除かれるのが$n$回目で起こる確率を$p_n$とし，$n$回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を$q_n$とする．$p_n$と$q_n$を求めよ．

袋$\mathrm{A}$，袋$\mathrm{B}$のそれぞれに，$1$から$N$の自然数がひとつずつ書かれた$N$枚のカードが入っている．これらのカードをよくかきまぜて取り出していく．以下の問いに答えよ．

(1)$N=4$とする．袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し，数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す．ただし，取り出したカードは元には戻さないものとする．$4$回のカードの取り出し操作が終わった後，数字が一致していた回数を$X$とする．$X=1,\ X=2,\ X=3,\ X=4$となる確率をそれぞれ求めよ．また$X$の期待値を求めよ．
(2)$N=3$とし，$n$は自然数とする．袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し，カードの数字が一致していたら，それらのカードを取り除き，一致していなかったら，元の袋に戻すという操作を繰り返す．カードが初めて取り除かれるのが$n$回目で起こる確率を$p_n$とし，$n$回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を$q_n$とする．$p_n$と$q_n$を求めよ．

$N$は$4$以上の整数とする．次の規則にしたがって$1$個のさいころを繰り返し投げる．

規則:出た目を毎回記録し，偶数の目が$3$回出るか，あるいは奇数の目が$N$回出たところで，さいころを投げる操作を終了する．

ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．

(1)さいころを投げる回数は，最大で何回か．
(2)さいころを$3$回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(3)さいころを$N$回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(4)最後に奇数の目が出て操作を終了する確率を求めよ．
(5)$N=4$のとき，さいころを投げる回数の期待値を求めよ．

袋の中に赤玉と白玉が何個か入っている．袋から玉を$1$つ取り出して元に戻す試行を繰り返す．$1$回の試行で赤玉が出る確率を$p$とするとき，下の問いに答えよ．

(1)$2$回赤玉が出るまで試行を繰り返すとき，試行の回数が$3$以下になる確率を求めよ．
(2)$2$回連続して赤玉が出るまで試行を繰り返すとき，試行の回数が$4$以下になる確率を求めよ．
(3)赤玉を取り出した回数と白玉を取り出した回数の差が$2$になるまで試行を繰り返す．このとき，試行の回数が$n$以下で赤玉が$2$回多く出る確率を求めよ．