「回数」について
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国立 山形大学 2014年 第1問数直線上に点$\mathrm{P}$があり，最初は原点に位置している．点$\mathrm{P}$を次の試行にしたがって数直線上を動かす．
$(ⅰ)$ 赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．
$(ⅱ)$ 取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．
$(ⅲ)$ 取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．
$\tokeishi$ 取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(2)試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．
(4)試行を$n$回行うとき，点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にならず，ちょうど$n$回目に初めて$2$になる確率を求めよ．
$(ⅰ)$ 赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．
$(ⅱ)$ 取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．
$(ⅲ)$ 取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．
$\tokeishi$ 取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(2)試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．
(4)試行を$n$回行うとき，点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にならず，ちょうど$n$回目に初めて$2$になる確率を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第2問数直線上に点$\mathrm{P}$があり，最初は原点に位置している．点$\mathrm{P}$を次の試行にしたがって数直線上を動かす．
$(ⅰ)$ 赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．
$(ⅱ)$ 取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．
$(ⅲ)$ 取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．
$\tokeishi$ 取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(2)試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．
(4)試行を$n$回行うとき，点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にならず，ちょうど$n$回目に初めて$2$になる確率を求めよ．
$(ⅰ)$ 赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．
$(ⅱ)$ 取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．
$(ⅲ)$ 取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．
$\tokeishi$ 取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(2)試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．
(4)試行を$n$回行うとき，点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にならず，ちょうど$n$回目に初めて$2$になる確率を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第2問数直線上に点$\mathrm{P}$があり，最初は原点に位置している．点$\mathrm{P}$を次の試行にしたがって数直線上を動かす．
$(ⅰ)$ 赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．
$(ⅱ)$ 取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．
$(ⅲ)$ 取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．
$\tokeishi$ 取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(2)試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．
$(ⅰ)$ 赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．
$(ⅱ)$ 取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．
$(ⅲ)$ 取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．
$\tokeishi$ 取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(2)試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．
私立 名城大学 2014年 第1問次の$[ ]$内に答えを記入せよ．
(1)箱の中に赤玉$1$個と白玉$2$個が入っている．箱の中から玉を$1$個取り出し，その色を見てから箱の中へ戻す試行をくり返す．玉を取り出すごとに，それが赤ならばくじを$2$回，白ならばくじを$1$回引くものとする．この操作を$n$回くり返すとき，くじを引く総回数の期待値を$E(n)$とおく．そのとき，$E(1)=[ア]$，$E(3)=[イ]$である．
(2)$f(x)=x^3+ax^2+bx$とする．曲線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{P}(1,\ f(1))$，$\mathrm{Q}(-1,\ f(-1))$における接線が直交し，点$\mathrm{P}$で接線の傾きが$10$のとき，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(1)箱の中に赤玉$1$個と白玉$2$個が入っている．箱の中から玉を$1$個取り出し，その色を見てから箱の中へ戻す試行をくり返す．玉を取り出すごとに，それが赤ならばくじを$2$回，白ならばくじを$1$回引くものとする．この操作を$n$回くり返すとき，くじを引く総回数の期待値を$E(n)$とおく．そのとき，$E(1)=[ア]$，$E(3)=[イ]$である．
(2)$f(x)=x^3+ax^2+bx$とする．曲線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{P}(1,\ f(1))$，$\mathrm{Q}(-1,\ f(-1))$における接線が直交し，点$\mathrm{P}$で接線の傾きが$10$のとき，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
私立 青山学院大学 2014年 第1問$1$枚の硬貨を$7$回投げるとき，表が続いて出る回数の最大値を$X$とする．たとえば，裏表表表裏表表であれば，$X=3$である．
(1)$X=5$となる確率は$\displaystyle \frac{[$1$]}{[$2$][$3$][$4$]}$である．
(2)$X=4$となる確率は$\displaystyle \frac{[$5$]}{[$6$][$7$]}$である．
(3)$X=3$となる確率は$\displaystyle \frac{[$8$][$9$]}{[$10$][$11$][$12$]}$である．
(1)$X=5$となる確率は$\displaystyle \frac{[$1$]}{[$2$][$3$][$4$]}$である．
(2)$X=4$となる確率は$\displaystyle \frac{[$5$]}{[$6$][$7$]}$である．
(3)$X=3$となる確率は$\displaystyle \frac{[$8$][$9$]}{[$10$][$11$][$12$]}$である．
私立 倉敷芸術科学大学 2014年 第6問あるバスケットボールの選手のシュートがゴールに入る確率が$\displaystyle \frac{7}{12}$であるとする．この選手が$n$回シュートをするとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$回もゴールに入らない確率はいくらか．
(2)少なくとも$1$回はゴールに入る確率が$0.98$より大きくなるのはシュートの回数$n$がいくら以上のときか．ただし，$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$とする．
(1)$1$回もゴールに入らない確率はいくらか．
(2)少なくとも$1$回はゴールに入る確率が$0.98$より大きくなるのはシュートの回数$n$がいくら以上のときか．ただし，$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$とする．
私立 東京都市大学 2014年 第1問次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とし，$\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{4}$であるとする．$\cos 2\theta,\ \cos 3\theta$の値を求めよ．
(2)$x$軸に接し，点$(3,\ 4)$を通る円の中心が描く軌跡の方程式を求めよ．
(3)硬貨を$3$回投げるとき，途中においてそれまでに表の出た回数がつねに裏の出た回数より多いのは，$1$回目表，$2$回目表，$3$回目表となる場合と，$1$回目表，$2$回目表，$3$回目裏となる場合の$2$通りである．硬貨を$5$回投げるとき，途中においてそれまでに表の出た回数がつねに裏の出た回数よりも多く，最終的に表が$3$回出る確率を求めよ．
(1)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とし，$\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{4}$であるとする．$\cos 2\theta,\ \cos 3\theta$の値を求めよ．
(2)$x$軸に接し，点$(3,\ 4)$を通る円の中心が描く軌跡の方程式を求めよ．
(3)硬貨を$3$回投げるとき，途中においてそれまでに表の出た回数がつねに裏の出た回数より多いのは，$1$回目表，$2$回目表，$3$回目表となる場合と，$1$回目表，$2$回目表，$3$回目裏となる場合の$2$通りである．硬貨を$5$回投げるとき，途中においてそれまでに表の出た回数がつねに裏の出た回数よりも多く，最終的に表が$3$回出る確率を求めよ．
公立 札幌医科大学 2014年 第2問表と裏の出る確率が等しい硬貨を$n$回投げる．このとき，表が出る回数が$n$の半分以上である確率を$a_n$とし，表が出る回数が$n$の半分より大きい確率を$b_n$とする．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$および$b_1,\ b_2,\ b_3$をそれぞれ求めよ．
(2)$a_n-b_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$および$b_1,\ b_2,\ b_3$をそれぞれ求めよ．
(2)$a_n-b_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$a_n$を$n$を用いて表せ．
公立 横浜市立大学 2014年 第4問$n$を$4$以上の整数とする．$1$番から$n$番までの番号がふられたボールが$1$つずつある．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)以下のような操作でボールを$1$列に並べる：
(i) $1$番のボールを適当な位置におく．
(ii) $2$番のボールを$1$番のボールの左または右に同じ確率でおく．
(iii) $3$番のボールをすでに並んでいる$2$つのボールの左または間または右に同じ確率でおく．
\mon[$\tokeishi$] 以下$n$番まで番号順に，$k$番のボールを，すでに並んでいるボールの一番左または間または一番右に同じ確率でおく，ことを繰り返す．
例えば，左から$2$番，$1$番，$3$番のボールが並んでいるとき，$4$番のボールが$2$番と$1$番の間におかれる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である．
$n$番のボールをおき終えたとき，$i$番のボールが左から$j$番目に並ぶ確率は$\displaystyle \frac{1}{n}$であることを証明せよ．ただし，$i$と$j$は$1$以上，$n$以下の整数とする．
(2)$(1)$のボールの列を，（左から）番号順に並び替えるため，以下の操作を考える：
隣り合った$2$つのボールの組で，左のボールの番号が右のそれより大きなもの（入れ替え可能な組と呼ぶ）が存在するとき，そのようなボールの組を$1$つ選び，入れ替える．
入れ替え可能な組が複数あった場合に，入れ替える組をどのように選んだとしても，この操作を繰り返すことにより，すべてのボールの列は，必ず番号順の列になることを証明せよ．
(3)$(2)$の操作の回数は，入れ替える組の選び方とは無関係であることを証明せよ．
(4)$(2)$においてボールの列を番号順に並べ替えるとき，$i$番のボールを，より番号の小さいボールと入れ替える回数の期待値を$E_i$とする．このとき，
\[ \sum_{i=1}^n E_i \]
を求めよ．
(1)以下のような操作でボールを$1$列に並べる：
(i) $1$番のボールを適当な位置におく．
(ii) $2$番のボールを$1$番のボールの左または右に同じ確率でおく．
(iii) $3$番のボールをすでに並んでいる$2$つのボールの左または間または右に同じ確率でおく．
\mon[$\tokeishi$] 以下$n$番まで番号順に，$k$番のボールを，すでに並んでいるボールの一番左または間または一番右に同じ確率でおく，ことを繰り返す．
例えば，左から$2$番，$1$番，$3$番のボールが並んでいるとき，$4$番のボールが$2$番と$1$番の間におかれる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である．
$n$番のボールをおき終えたとき，$i$番のボールが左から$j$番目に並ぶ確率は$\displaystyle \frac{1}{n}$であることを証明せよ．ただし，$i$と$j$は$1$以上，$n$以下の整数とする．
(2)$(1)$のボールの列を，（左から）番号順に並び替えるため，以下の操作を考える：
隣り合った$2$つのボールの組で，左のボールの番号が右のそれより大きなもの（入れ替え可能な組と呼ぶ）が存在するとき，そのようなボールの組を$1$つ選び，入れ替える．
入れ替え可能な組が複数あった場合に，入れ替える組をどのように選んだとしても，この操作を繰り返すことにより，すべてのボールの列は，必ず番号順の列になることを証明せよ．
(3)$(2)$の操作の回数は，入れ替える組の選び方とは無関係であることを証明せよ．
(4)$(2)$においてボールの列を番号順に並べ替えるとき，$i$番のボールを，より番号の小さいボールと入れ替える回数の期待値を$E_i$とする．このとき，
\[ \sum_{i=1}^n E_i \]
を求めよ．
私立 東京慈恵会医科大学 2013年 第1問次の$[ ]$にあてはまる適切な数値を記入せよ．
(1)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$2$個のさいころを同時に投げる試行を$\mathrm{T}$とし，試行$\mathrm{T}$の結果によって，$\mathrm{P}$は次の規則で動く．
（規則）$2$個のさいころの出た目の積が偶数ならば$+2$だけ移動し，奇数ならば$+1$だけ移動する．
試行$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行ったときの$\mathrm{P}$の座標を$x_n$とすると，$x_1=2$となる確率は$[ア]$であり，$x_3=3$かつ$x_4=5$となる確率は$[イ]$である．また，$\mathrm{P}$が座標$4$以上の点に初めて到達するまで試行$\mathrm{T}$を繰り返し行うとき，試行回数の期待値は$[ウ]$である．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$をみたしている．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=[エ]$である．また，実数$s,\ t$が条件$1 \leqq s+3t \leqq 3$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$をみたしながら動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められた点$\mathrm{P}$の存在する範囲の面積は$[オ]$である．
(1)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$2$個のさいころを同時に投げる試行を$\mathrm{T}$とし，試行$\mathrm{T}$の結果によって，$\mathrm{P}$は次の規則で動く．
（規則）$2$個のさいころの出た目の積が偶数ならば$+2$だけ移動し，奇数ならば$+1$だけ移動する．
試行$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行ったときの$\mathrm{P}$の座標を$x_n$とすると，$x_1=2$となる確率は$[ア]$であり，$x_3=3$かつ$x_4=5$となる確率は$[イ]$である．また，$\mathrm{P}$が座標$4$以上の点に初めて到達するまで試行$\mathrm{T}$を繰り返し行うとき，試行回数の期待値は$[ウ]$である．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$をみたしている．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=[エ]$である．また，実数$s,\ t$が条件$1 \leqq s+3t \leqq 3$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$をみたしながら動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められた点$\mathrm{P}$の存在する範囲の面積は$[オ]$である．