「回数」について
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国立 千葉大学 2015年 第4問さいころを$5$回振るとき，初めの$4$回においては$6$の目が偶数回出て，しかも最後の$2$回においては$6$の目がちょうど$1$回出る確率を求めよ．ただし，$6$の目が一度も出ない場合も$6$の目が出る回数を偶数回とみなす．
国立 千葉大学 2015年 第2問さいころを$5$回振るとき，初めの$4$回においては$6$の目が偶数回出て，しかも最後の$2$回においては$6$の目がちょうど$1$回出る確率を求めよ．ただし，$6$の目が一度も出ない場合も$6$の目が出る回数を偶数回とみなす．
国立 千葉大学 2015年 第3問さいころを$5$回振るとき，初めの$4$回においては$6$の目が偶数回出て，しかも最後の$2$回においては$6$の目がちょうど$1$回出る確率を求めよ．ただし，$6$の目が一度も出ない場合も$6$の目が出る回数を偶数回とみなす．
国立 弘前大学 2015年 第2問男子$4$人と女子$4$人を円形のテーブルのまわりに無作為に配置する．次の問いに答えよ．
(1)男女が交互に並ぶ配置になる確率を求めよ．
(2)この配置を$3$回行うとき，男女が交互に並ぶ配置になる回数が$1$回または$2$回になる確率を求めよ．
(1)男女が交互に並ぶ配置になる確率を求めよ．
(2)この配置を$3$回行うとき，男女が交互に並ぶ配置になる回数が$1$回または$2$回になる確率を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第5問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第7問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第5問整数$n (n \geqq 4)$に対し，$2$枚のコインを同時に投げる試行を繰り返し，$2$枚とも表が出るか，または$n$回繰り返した時点で試行を終了するときの試行の回数を$X_n$とする．確率変数$X_n$について，次の各問いに答えよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
(1)$n-1$以下の自然数$k$に対して，確率$P(X_n=k)$を求めよ．また，確率$P(X_n>3)$を求めよ．
(2)確率$P(X_n=n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$X_n$の平均を$E_n$とかくとき，$E_{n+1}-E_n$を求めよ．
私立 中央大学 2015年 第2問$1$個のさいころをくり返し投げ，$3$の倍数の目が出る回数を数える．いま，さいころを$n$回投げるとき，$3$の倍数の目が奇数回出る確率を$P_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$P_2$および$P_3$を求めよ．
(2)$P_{n+1}$を$P_n$で表せ．
(3)$P_n$を$n$の式で表せ．
(1)$P_2$および$P_3$を求めよ．
(2)$P_{n+1}$を$P_n$で表せ．
(3)$P_n$を$n$の式で表せ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第5問袋に赤玉が$2$個と白玉が$1$個入っている．袋から玉を$1$個取り出し玉の色を見て袋に戻す．このとき取り出した玉と同色の玉をもう$1$つ袋に加える．この操作を繰り返して行う．
(1)$n$回目の操作を終えたとき，それまでに赤玉を取り出した回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）であったとする．このとき，$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率を$p_n(k)$とおくと，$p_n(k)=[ナ]$となる．
(2)$n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）である確率を$q_n(k)$とおく．たとえば，$\displaystyle q_1(1)=\frac{2}{3}$，$q_4(2)=[ニ]$となる．$n$回の操作中$j$回目（$1 \leqq j \leqq n$）だけ赤玉を取り出し，その他の操作では白玉を取り出す確率は$[ヌ]$であり，$q_n(1)=n \times [ヌ]$となる．$q_n(k)$を$n$と$k$を用いて表すと，$q_n(k)=[ネ]$となる．
(3)$n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）であり，$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率は，$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて$q_n(k)p_n(k)$となる．このことから，$n+1$回目に赤玉を取り出す確率を計算すると$[ノ]$となる．
(4)$f(x)=e^{-x^2}$とする．$S_n$を$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて
\[ S_n=\sum_{k=0}^n f(p_n(k))q_n(k) \]
とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=[ハ]$となる．
(1)$n$回目の操作を終えたとき，それまでに赤玉を取り出した回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）であったとする．このとき，$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率を$p_n(k)$とおくと，$p_n(k)=[ナ]$となる．
(2)$n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）である確率を$q_n(k)$とおく．たとえば，$\displaystyle q_1(1)=\frac{2}{3}$，$q_4(2)=[ニ]$となる．$n$回の操作中$j$回目（$1 \leqq j \leqq n$）だけ赤玉を取り出し，その他の操作では白玉を取り出す確率は$[ヌ]$であり，$q_n(1)=n \times [ヌ]$となる．$q_n(k)$を$n$と$k$を用いて表すと，$q_n(k)=[ネ]$となる．
(3)$n$回目の操作を終えるまでに赤玉を取り出す回数が$k$回（$0 \leqq k \leqq n$）であり，$n+1$回目の操作で赤玉を取り出す確率は，$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて$q_n(k)p_n(k)$となる．このことから，$n+1$回目に赤玉を取り出す確率を計算すると$[ノ]$となる．
(4)$f(x)=e^{-x^2}$とする．$S_n$を$(1)$と$(2)$で定めた$p_n(k)$と$q_n(k)$を用いて
\[ S_n=\sum_{k=0}^n f(p_n(k))q_n(k) \]
とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=[ハ]$となる．
私立 京都薬科大学 2015年 第1問次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+2a^2$は，$x=-1$で最大値をとり，$f(1)=14$を満たす．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$で，$f(x)$の最大値は$[ウ]$である．
(2)$1$つのさいころを$1$の目が出るまで投げ続ける．ただし，投げる回数は最大$100$回とする．このとき，ちょうど$n$回（$n<100$）投げてやめる確率は$[エ]$で，投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[オ]$である．また，$1$の目が$2$回出るまで投げ続けるとき（最大$100$回），投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[カ]$である．
(3)平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3}$が成立しているとする．このとき，$\mathrm{AB}=[キ]$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表し，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{5}{2} \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$を満たす点$\mathrm{C}$をとれば，$\mathrm{AC}=[ク]$，$\cos \angle \mathrm{BAC}=[ケ]$が成立する．
(4)不等式$\sin 2\theta+\sin 4\theta>\sin 3\theta$を満たす$\theta$の範囲は$[コ]<\theta<[サ]$および$[シ]<\theta<[ス]$である．ただし，$0<\theta<\pi$とする．
(5)ある正の数$a$を底としたときの，$2$と$5$の対数の近似値がそれぞれ$\log_a 2=0.693$，$\log_a 5=1.609$であるとする．また，$\sqrt[4]{10}=1.778$とする．指数関数$y=pa^{-qx}$（$p,\ q$は正の数）において，$x=1$のとき$y=10$，$x=5$のとき$y=1$となるならば，$p=[セ]$，$q=[ソ]$である．また，$y$がちょうど$p$の半分となるときの$x$の値は$[タ]$である．なお，解答は小数点以下$2$桁で示すこと（必要ならば小数第$3$位を四捨五入せよ）．
(1)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+2a^2$は，$x=-1$で最大値をとり，$f(1)=14$を満たす．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$で，$f(x)$の最大値は$[ウ]$である．
(2)$1$つのさいころを$1$の目が出るまで投げ続ける．ただし，投げる回数は最大$100$回とする．このとき，ちょうど$n$回（$n<100$）投げてやめる確率は$[エ]$で，投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[オ]$である．また，$1$の目が$2$回出るまで投げ続けるとき（最大$100$回），投げる回数が$n$回以下（$n<100$）でやめる確率は$[カ]$である．
(3)平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3}$が成立しているとする．このとき，$\mathrm{AB}=[キ]$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表し，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{5}{2} \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$を満たす点$\mathrm{C}$をとれば，$\mathrm{AC}=[ク]$，$\cos \angle \mathrm{BAC}=[ケ]$が成立する．
(4)不等式$\sin 2\theta+\sin 4\theta>\sin 3\theta$を満たす$\theta$の範囲は$[コ]<\theta<[サ]$および$[シ]<\theta<[ス]$である．ただし，$0<\theta<\pi$とする．
(5)ある正の数$a$を底としたときの，$2$と$5$の対数の近似値がそれぞれ$\log_a 2=0.693$，$\log_a 5=1.609$であるとする．また，$\sqrt[4]{10}=1.778$とする．指数関数$y=pa^{-qx}$（$p,\ q$は正の数）において，$x=1$のとき$y=10$，$x=5$のとき$y=1$となるならば，$p=[セ]$，$q=[ソ]$である．また，$y$がちょうど$p$の半分となるときの$x$の値は$[タ]$である．なお，解答は小数点以下$2$桁で示すこと（必要ならば小数第$3$位を四捨五入せよ）．