「四面体」について
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公立 名古屋市立大学 2015年 第4問空間内の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$はともに長さが$1$で，角度$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$をなす．また点$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$を含む平面$\mathrm{H}$上に存在せず，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_2$を満たす（ただし$c_1,\ c_2$はいずれも$0$でない実数であるとする）．さらにベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=c_1 \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+c_2 \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$のように表され，かつベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と垂直である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
公立 会津大学 2015年 第3問座標空間の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1,\ -1)$を頂点とする四面体がある．辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$が，
\[ \mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{CQ}:\mathrm{QA}=t:(1-t),\quad 0 \leqq t \leqq 1 \]
をみたすとき，以下の空欄をうめよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$を用いて表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[イ] \]
である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は，$t=[ロ]$のとき，最大値$[ハ]$をとる．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のとき，$t=[ニ]$である．
\[ \mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{CQ}:\mathrm{QA}=t:(1-t),\quad 0 \leqq t \leqq 1 \]
をみたすとき，以下の空欄をうめよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$を用いて表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[イ] \]
である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は，$t=[ロ]$のとき，最大値$[ハ]$をとる．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のとき，$t=[ニ]$である．
公立 名古屋市立大学 2015年 第4問空間内の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$はともに長さが$1$で，角度$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$をなす．また点$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$を含む平面$\mathrm{H}$上に存在せず，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_2$を満たす（ただし$c_1,\ c_2$はいずれも$0$でない実数であるとする）．さらにベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=c_1 \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+c_2 \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$のように表され，かつベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と垂直である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
公立 大阪府立大学 2015年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$が与えられており，各辺の長さが
\[ \mathrm{OA}=2,\quad \mathrm{OB}=3,\quad \mathrm{OC}=3,\quad \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{BC}=2,\quad \mathrm{CA}=3 \]
であるとする．また，点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$，点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面を$\beta$とし，点$\mathrm{B}$を通り平面$\alpha$に垂直な直線を$g$，点$\mathrm{C}$を通り平面$\beta$に垂直な直線を$h$とする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)直線$g$と平面$\alpha$の交点を$\mathrm{P}$，直線$h$と平面$\beta$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を表せ．
(3)直線$g$と直線$h$は交わることを示せ．また，直線$g$と直線$h$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を表せ．
\[ \mathrm{OA}=2,\quad \mathrm{OB}=3,\quad \mathrm{OC}=3,\quad \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{BC}=2,\quad \mathrm{CA}=3 \]
であるとする．また，点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$，点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面を$\beta$とし，点$\mathrm{B}$を通り平面$\alpha$に垂直な直線を$g$，点$\mathrm{C}$を通り平面$\beta$に垂直な直線を$h$とする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)直線$g$と平面$\alpha$の交点を$\mathrm{P}$，直線$h$と平面$\beta$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を表せ．
(3)直線$g$と直線$h$は交わることを示せ．また，直線$g$と直線$h$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を表せ．
国立 北海道大学 2014年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$は，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=90^\circ$をみたす．辺$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{OP}=p$，$\mathrm{OQ}=q$，$\displaystyle pq=\frac{1}{2}$となるようにとる．$p+q=t$とし，$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積を$S$とする．
(1)$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$S$を$t$で表せ．
(3)$S$の最小値，およびそのときの$p,\ q$を求めよ．
(1)$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$S$を$t$で表せ．
(3)$S$の最小値，およびそのときの$p,\ q$を求めよ．
国立 広島大学 2014年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\triangle \mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{F}$，$\triangle \mathrm{OAC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{FG}} \para \overrightarrow{\mathrm{BC}}$であることを示せ．
(3)$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\angle \mathrm{BOC}=90^\circ$のとき，$\mathrm{FG}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{FG}} \para \overrightarrow{\mathrm{BC}}$であることを示せ．
(3)$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\angle \mathrm{BOC}=90^\circ$のとき，$\mathrm{FG}$の長さを求めよ．
国立 広島大学 2014年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{F}$，$\triangle \mathrm{OAC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，$\angle \mathrm{BOC}=2 \theta$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{FG}} \para \overrightarrow{\mathrm{BC}}$であることを示せ．
(3)$\triangle \mathrm{MBC}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{FG}} \para \overrightarrow{\mathrm{BC}}$であることを示せ．
(3)$\triangle \mathrm{MBC}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
国立 岡山大学 2014年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{PC}$の中点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{OQ}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$m>0$，$n>0$とする．さらに直線$\mathrm{AR}$が平面$\mathrm{OBC}$と交わる点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおいて以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$m$，$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RS}}$を$m,\ n$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$m$，$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RS}}$を$m,\ n$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2014年 第3問下図の平行六面体において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし，$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2014年 第2問$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす実数$\theta$に対し，$xyz$空間内の$4$点$\mathrm{A}(\cos \theta,\ \cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{B}(-\cos \theta,\ -\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{C}(\cos \theta,\ -\cos \theta,\ -\sin \theta)$，$\mathrm{D}(-\cos \theta,\ \cos \theta,\ -\sin \theta)$を頂点とする四面体の体積を$V(\theta)$，この四面体の$xz$平面による切り口の面積を$S(\theta)$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle S \left( \frac{\pi}{6} \right),\ V \left( \frac{\pi}{6} \right)$をそれぞれ求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における$S(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における$V(\theta)$の最大値を求めよ．
(1)$\displaystyle S \left( \frac{\pi}{6} \right),\ V \left( \frac{\pi}{6} \right)$をそれぞれ求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における$S(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における$V(\theta)$の最大値を求めよ．