「四面体」について
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国立 岩手大学 2015年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{R}$，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．ただし，$0<s<1$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$s$で表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{RS}$が交わるときの$s$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$s$で表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{RS}$が交わるときの$s$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{R}$，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．ただし，$0<s<1$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$s$で表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{RS}$が交わるときの$s$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$s$で表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{RS}$が交わるときの$s$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{R}$，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．ただし，$0<s<1$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$s$で表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{RS}$が交わるときの$s$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$s$で表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{RS}$が交わるときの$s$の値を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$は，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{2}{3} \pi$，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=3$を満たす．点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CH}}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{a}-\frac{1}{2} \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$を示せ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CH}}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{a}-\frac{1}{2} \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$を示せ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
国立 宮崎大学 2015年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$の$3$辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$上に，それぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$がある．$\mathrm{OP}=\mathrm{PA}$，$\mathrm{AQ}=2 \mathrm{QB}$とし，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{B}$とは異なるものとする．$\triangle \mathrm{PQR}$の重心を$\mathrm{H}$とするとき，次の各問に答えよ．ただし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が同一直線上にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が同一直線上にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
国立 福島大学 2015年 第4問空間に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ -1)$がある．
(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$の方程式を求めなさい．
(2)平面$\alpha$に垂直になるように原点$\mathrm{O}$から直線を引いたとき，平面$\alpha$との交点$\mathrm{T}$の座標を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めなさい．
(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$の方程式を求めなさい．
(2)平面$\alpha$に垂直になるように原点$\mathrm{O}$から直線を引いたとき，平面$\alpha$との交点$\mathrm{T}$の座標を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めなさい．
国立 山口大学 2015年 第3問$a,\ b$を定数とする．空間内に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 5,\ 9)$，$\mathrm{B}(3,\ 4,\ 8)$，$\mathrm{C}(2,\ 6,\ 7)$，$\mathrm{D}(a,\ b,\ 12)$がある．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{AG} \perp \mathrm{DG}$，$\mathrm{BG} \perp \mathrm{DG}$であるとき，次の問いに答えなさい．
(1)点$\mathrm{G}$の座標と$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(4)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を頂点とする四面体の体積を求めなさい．
(1)点$\mathrm{G}$の座標と$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(4)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を頂点とする四面体の体積を求めなさい．
国立 宮城教育大学 2015年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CA}=5$であり，直線$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{D}$が$\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$をみたすとする．さらに，線分$\mathrm{AC}$を$9:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，直線$\mathrm{AD}$と直線$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第1問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 0)$がある．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$1$][$2$]}}{[$3$]}$である．
(2)点$\mathrm{C}$の位置を，位置ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
によって定める．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の比は
\[ \frac{\triangle \mathrm{ABC}}{\triangle \mathrm{OAB}}=\frac{[$4$]}{[$5$]} \]
である．
(3)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直な単位ベクトルのうちの$1$つは，
\[ \frac{\sqrt{[$6$][$7$]}}{21} \left( [$8$],\ -[$9$],\ 1 \right) \]
である．
(4)$t$を実数として，点$\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{t^2}{4},\ 4t,\ 19 \right)$を定める．このとき，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V(t)$は
\[ V(t)=\frac{[$10$]}{[$11$][$12$]} \left( t^2-[$13$]t+[$14$][$15$] \right) \]
である．
(5)数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\frac{n+1}{10} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$V(a_n)$は，$n=[$16$]$で最小となる．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$1$][$2$]}}{[$3$]}$である．
(2)点$\mathrm{C}$の位置を，位置ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
によって定める．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の比は
\[ \frac{\triangle \mathrm{ABC}}{\triangle \mathrm{OAB}}=\frac{[$4$]}{[$5$]} \]
である．
(3)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直な単位ベクトルのうちの$1$つは，
\[ \frac{\sqrt{[$6$][$7$]}}{21} \left( [$8$],\ -[$9$],\ 1 \right) \]
である．
(4)$t$を実数として，点$\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{t^2}{4},\ 4t,\ 19 \right)$を定める．このとき，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V(t)$は
\[ V(t)=\frac{[$10$]}{[$11$][$12$]} \left( t^2-[$13$]t+[$14$][$15$] \right) \]
である．
(5)数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\frac{n+1}{10} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$V(a_n)$は，$n=[$16$]$で最小となる．
私立 慶應義塾大学 2015年 第3問実数$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たすとする．$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を原点とする座標空間の$3$点
\[ \mathrm{A}(\cos^2 \theta,\ \sin \theta,\ 1+\sin^2 \theta),\quad \mathrm{B}(\sin \theta,\ 0,\ -\sin \theta),\quad \mathrm{C}(1,\ \cos 2\theta-\cos^2 \theta,\ 1) \]
に対し，それぞれ$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．
(1)$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではないとする．$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一平面上にあるならば，
$\displaystyle \theta=\frac{[$27$][$28$]}{[$29$]} \pi$である．
次に$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$とし，以下このときの$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．また，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．
(2)点$\mathrm{P}$は$\alpha$上の点で，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$が最小になるものとする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{b}=[$30$],\quad \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{c}=[$31$] \]
が成り立つ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[$32$][$33$]}{[$34$]} \overrightarrow{b}+\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \overrightarrow{c} \]
となる．ただし，$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$はベクトル$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$の内積を表す．
(3)三角形$\mathrm{OBC}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{8} \sqrt{\frac{[$39$][$40$]}{[$41$]}}$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\displaystyle \sqrt{\frac{[$42$]}{[$43$][$44$]}}$なので，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{[$45$]}{[$46$]}$となる．
\[ \mathrm{A}(\cos^2 \theta,\ \sin \theta,\ 1+\sin^2 \theta),\quad \mathrm{B}(\sin \theta,\ 0,\ -\sin \theta),\quad \mathrm{C}(1,\ \cos 2\theta-\cos^2 \theta,\ 1) \]
に対し，それぞれ$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．
(1)$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではないとする．$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一平面上にあるならば，
$\displaystyle \theta=\frac{[$27$][$28$]}{[$29$]} \pi$である．
次に$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$とし，以下このときの$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．また，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．
(2)点$\mathrm{P}$は$\alpha$上の点で，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$が最小になるものとする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{b}=[$30$],\quad \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{c}=[$31$] \]
が成り立つ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[$32$][$33$]}{[$34$]} \overrightarrow{b}+\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \overrightarrow{c} \]
となる．ただし，$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$はベクトル$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$の内積を表す．
(3)三角形$\mathrm{OBC}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{8} \sqrt{\frac{[$39$][$40$]}{[$41$]}}$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\displaystyle \sqrt{\frac{[$42$]}{[$43$][$44$]}}$なので，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{[$45$]}{[$46$]}$となる．