「四面体」について
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国立 宮城教育大学 2011年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において
\begin{align}
& \mathrm{OA}=\sqrt{2},\quad \mathrm{OB}=3,\quad \mathrm{OC}=2, \nonumber \\
& \angle \mathrm{AOB}=45^\circ,\quad \angle \mathrm{BOC}=60^\circ,\quad \angle \mathrm{COA}=45^\circ \nonumber
\end{align}
である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{F}$から平面$\mathrm{OBC}$におろした垂線と平面$\mathrm{OBC}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{OH}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ．
\begin{align}
& \mathrm{OA}=\sqrt{2},\quad \mathrm{OB}=3,\quad \mathrm{OC}=2, \nonumber \\
& \angle \mathrm{AOB}=45^\circ,\quad \angle \mathrm{BOC}=60^\circ,\quad \angle \mathrm{COA}=45^\circ \nonumber
\end{align}
である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{F}$から平面$\mathrm{OBC}$におろした垂線と平面$\mathrm{OBC}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{OH}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ．
国立 九州工業大学 2011年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=1$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}=60^\circ$をみたしている．線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{OM}$を$s:1-s \ (0<s<1)$に内分する点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta \ (0^\circ<\theta<180^\circ)$として，次に答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$と$s$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}}$のとき，$s$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}},\ \mathrm{BC}=\sqrt{\displaystyle\frac{17}{5}}$とするとき，$\cos \theta$と$s$の値を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}},\ \mathrm{BC}=\sqrt{\displaystyle\frac{17}{5}}$とするとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$と$s$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}}$のとき，$s$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}},\ \mathrm{BC}=\sqrt{\displaystyle\frac{17}{5}}$とするとき，$\cos \theta$と$s$の値を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}},\ \mathrm{BC}=\sqrt{\displaystyle\frac{17}{5}}$とするとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
国立 愛媛大学 2011年 第4問四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$，$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて，それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 2,\ 3)$，$(t,\ 1,\ 0)$，$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする．
(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ．
(ii) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$，$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて，それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 2,\ 3)$，$(t,\ 1,\ 0)$，$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする．
(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ．
(ii) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ．
国立 愛媛大学 2011年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$，$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて，それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 2,\ 3)$，$(t,\ 1,\ 0)$，$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする．
(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ．
(ii) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$，$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて，それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 2,\ 3)$，$(t,\ 1,\ 0)$，$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする．
(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ．
(ii) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ．
国立 愛媛大学 2011年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$，$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて，それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 2,\ 3)$，$(t,\ 1,\ 0)$，$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする．
(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ．
(ii) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$，$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて，それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(1,\ 2,\ 3)$，$(t,\ 1,\ 0)$，$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする．
(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ．
(ii) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ．
私立 早稲田大学 2011年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{OC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，線分$\mathrm{OG}$と線分$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{1}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \frac{1}{[エ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} + \frac{1}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{1}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \frac{1}{[エ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} + \frac{1}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．
私立 早稲田大学 2011年 第2問座標空間の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{C}(2,\ 2,\ 3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．
(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[コ]$である．
(2)辺$\mathrm{OC}$上に動点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最小になるとき，$\mathrm{P}$ $([サ],\ [シ],\ [ス])$であり，その最小値は$[セ]$である．
(3)(2)で選んだ点Pを$\text{P}_0$とし，$\text{P}_0$から辺ABに下ろした垂線と辺ABの交点を$\text{Q}_0$とする．$\text{Q}_0([ソ],\ [タ],\ 0)$であり，三角形O$\text{Q}_0$Cの面積は[チ]である．また，四面体OA$\text{Q}_0\text{P}_0$の体積は[ツ]となる．
(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[コ]$である．
(2)辺$\mathrm{OC}$上に動点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最小になるとき，$\mathrm{P}$ $([サ],\ [シ],\ [ス])$であり，その最小値は$[セ]$である．
(3)(2)で選んだ点Pを$\text{P}_0$とし，$\text{P}_0$から辺ABに下ろした垂線と辺ABの交点を$\text{Q}_0$とする．$\text{Q}_0([ソ],\ [タ],\ 0)$であり，三角形O$\text{Q}_0$Cの面積は[チ]である．また，四面体OA$\text{Q}_0\text{P}_0$の体積は[ツ]となる．
私立 早稲田大学 2011年 第5問四面体$\mathrm{OABC}$において$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=2\sqrt{6}$である．
また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}= \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．以下の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする．$H$上の点$\mathrm{P}$で直線$\mathrm{PC}$と$H$が直交するものをとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$となる$x,\ y$を求めよ．
(3)平面$H$を直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BO}$で右図のように$7$つの \\
領域ア，イ，ウ，エ，オ，カ，キにわける．点$\mathrm{P}$はどの \\
領域に入るか答えよ．
\img{304_23_2011_1}{20}
(4)辺$\mathrm{AB}$で$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$のなす角は鋭角になるか，直角になるか，それとも鈍角になるかを判定せよ．ただし，$1$辺を共有する$2$つの三角形のなす角とは，共有する辺に直交する平面での$2$つの三角形の切り口のなす角のことである．
また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}= \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．以下の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする．$H$上の点$\mathrm{P}$で直線$\mathrm{PC}$と$H$が直交するものをとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$となる$x,\ y$を求めよ．
(3)平面$H$を直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BO}$で右図のように$7$つの \\
領域ア，イ，ウ，エ，オ，カ，キにわける．点$\mathrm{P}$はどの \\
領域に入るか答えよ．
\img{304_23_2011_1}{20}
(4)辺$\mathrm{AB}$で$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$のなす角は鋭角になるか，直角になるか，それとも鈍角になるかを判定せよ．ただし，$1$辺を共有する$2$つの三角形のなす角とは，共有する辺に直交する平面での$2$つの三角形の切り口のなす角のことである．
私立 上智大学 2011年 第3問$xyz$空間内の正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$はすべて原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$上にある．$\mathrm{A}$の座標は$(0,\ 0,\ 1)$であり，$\mathrm{B}$の$x$座標は正，$y$座標は$0$である．また，$\mathrm{C}$の$y$座標は$\mathrm{D}$の$y$座標より大きい．
(1)$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$z$座標は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$である．
(2)$\mathrm{C}$の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]}$である．
(3)$\mathrm{O}$を端点とし$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る半直線が$S$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さは$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]} \sqrt{[ヘ]}$，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は$[ホ]$である．
以後，四面体$\mathrm{PABC}$を$V_\mathrm{p}$で表す．
(4)$\triangle \mathrm{APB}$の面積は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(5)$(3)$で$\triangle \mathrm{ABC}$に対して点$\mathrm{P}$および四面体$V_\mathrm{p}$を定めたときと同様に，$\triangle \mathrm{ACD}$，$\triangle \mathrm{ABD}$，$\triangle \mathrm{BCD}$に対してそれぞれ点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{T}$および四面体$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$を定める．四面体$\mathrm{ABCD}$と$V_\mathrm{P}$，$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$をあわせた立体を$V$とすると，$V$の表面積は$[ム]$であり，$V$の体積は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]} \sqrt{[ヤ]}$である．
(1)$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$z$座標は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$である．
(2)$\mathrm{C}$の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]}$である．
(3)$\mathrm{O}$を端点とし$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る半直線が$S$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さは$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]} \sqrt{[ヘ]}$，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は$[ホ]$である．
以後，四面体$\mathrm{PABC}$を$V_\mathrm{p}$で表す．
(4)$\triangle \mathrm{APB}$の面積は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(5)$(3)$で$\triangle \mathrm{ABC}$に対して点$\mathrm{P}$および四面体$V_\mathrm{p}$を定めたときと同様に，$\triangle \mathrm{ACD}$，$\triangle \mathrm{ABD}$，$\triangle \mathrm{BCD}$に対してそれぞれ点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{T}$および四面体$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$を定める．四面体$\mathrm{ABCD}$と$V_\mathrm{P}$，$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$をあわせた立体を$V$とすると，$V$の表面積は$[ム]$であり，$V$の体積は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]} \sqrt{[ヤ]}$である．
私立 京都薬科大学 2011年 第4問四面体$\mathrm{OABC}$について，次の$[ ]$にあてはまる正の数を記入せよ．ただし，$[ア]:[イ]$，$[ウ]:[エ]$および$[オ]:[カ]$については，もっとも簡単な整数比で表すこと．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，線分$\mathrm{OG}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{BD}$と平面$\mathrm{AOC}$の交点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{OE}$と直線$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
となり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{BD}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}-[ ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
となる．また，$\mathrm{OE}:\mathrm{EF}=[ア]:[イ]$，$\mathrm{BD}:\mathrm{DE}=[ウ]:[エ]$であり，二つの四面体$\mathrm{ABFO}$と$\mathrm{CEFB}$の体積比は$[オ]:[カ]$である．
(2)$\angle \mathrm{COB}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{AOC}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{CAO}={60}^\circ$，$\mathrm{OA}=\sqrt{3}+1$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$とすると，$\mathrm{OC}=[ ]$，$\mathrm{CA}=[ ]$であり，$\mathrm{OB}$は$[$*$]$または$[$**$]$である．ただし，$[$*$]>[$**$]$とする．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，線分$\mathrm{OG}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{BD}$と平面$\mathrm{AOC}$の交点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{OE}$と直線$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
となり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{BD}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}-[ ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
となる．また，$\mathrm{OE}:\mathrm{EF}=[ア]:[イ]$，$\mathrm{BD}:\mathrm{DE}=[ウ]:[エ]$であり，二つの四面体$\mathrm{ABFO}$と$\mathrm{CEFB}$の体積比は$[オ]:[カ]$である．
(2)$\angle \mathrm{COB}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{AOC}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{CAO}={60}^\circ$，$\mathrm{OA}=\sqrt{3}+1$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$とすると，$\mathrm{OC}=[ ]$，$\mathrm{CA}=[ ]$であり，$\mathrm{OB}$は$[$*$]$または$[$**$]$である．ただし，$[$*$]>[$**$]$とする．