「四面体」について
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国立 京都大学 2011年 第6問空間内に四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．このとき．$4$つの頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を同時に通る球面が存在することを示せ．
国立 京都大学 2011年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において．点$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線とその平面の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OC}}, |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2, |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=3, |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\sqrt{7}$のとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．
国立 九州大学 2011年 第4問空間内の$4$点
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(0,\ 2,\ 3),\quad \mathrm{B}(1,\ 0,\ 3),\quad \mathrm{C}(1,\ 2,\ 0) \]
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に点$\mathrm{D}$から垂線を引き，交点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{DF}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(0,\ 2,\ 3),\quad \mathrm{B}(1,\ 0,\ 3),\quad \mathrm{C}(1,\ 2,\ 0) \]
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に点$\mathrm{D}$から垂線を引き，交点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{DF}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第2問座標空間内で4点O$(0,\ 0,\ 0),\ \text{A}(1,\ 0,\ 0),\ \text{B}(0,\ 1,\ 0),\ \text{C}(0,\ 0,\ 1)$を頂点とする四面体OABCを考える．線分ABを$m:(1-m)$に内分する点をP，線分OPを$s:(1-s)$に内分する点をQ，線分CPを$u:(1-u)$に内分する点をRとする．また，線分ABの中点をHとし，点Rを通り線分OPに垂直に交わる直線と線分OPとの交点をIとする．$\angle \text{OQC}$と$\angle \text{IQR}$が等しいとき，次の問いに答えよ．
(1)点Rの座標を$m,\ u$を用いて表せ．
(2)$s$を$u$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HR}}=a\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}+b \frac{\overrightarrow{\mathrm{HC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{HC}}|}$と表すとき，この$a,\ b$を用いて$s,\ m$を表せ．
(1)点Rの座標を$m,\ u$を用いて表せ．
(2)$s$を$u$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HR}}=a\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}+b \frac{\overrightarrow{\mathrm{HC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{HC}}|}$と表すとき，この$a,\ b$を用いて$s,\ m$を表せ．
国立 三重大学 2011年 第2問四面体OABCにおいて$\text{OA}=\text{OC}=\sqrt{2},\ \text{OB}=\sqrt{5},\ \text{AB}=3$であり，$\displaystyle \angle \text{AOC}=\angle \text{BOC}=\frac{\pi}{2}$であるとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として以下の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)線分ABを$1:2$に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)線分ABを$1:2$に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．
国立 三重大学 2011年 第3問四面体OABCにおいて$\text{OA}=\text{OC}=\sqrt{2},\ \text{OB}=\sqrt{5},\ \text{AB}=3$であり，$\displaystyle \angle \text{AOC}=\angle \text{BOC}=\frac{\pi}{2}$であるとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として以下の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)線分ABを$1:2$に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)線分ABを$1:2$に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．
国立 三重大学 2011年 第3問四面体OABCにおいて$\text{OA}=\text{OC}=\sqrt{2},\ \text{OB}=\sqrt{5},\ \text{AB}=3$であり，$\displaystyle \angle \text{AOC}=\angle \text{BOC}=\frac{\pi}{2}$であるとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として以下の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)線分ABを$1:2$に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)線分ABを$1:2$に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，方程式$6 \sin^2 x+5 \cos x-2=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)座標空間に4点A$(2,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 3,\ 0)$，C$(-1,\ 1,\ 0)$，D$(1,\ 1,\ -9)$がある．四面体ABCDの体積を求めよ．
(3)7で割ると2余り，11で割ると3余るような300以下の自然数をすべて求めよ．
(1)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，方程式$6 \sin^2 x+5 \cos x-2=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)座標空間に4点A$(2,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 3,\ 0)$，C$(-1,\ 1,\ 0)$，D$(1,\ 1,\ -9)$がある．四面体ABCDの体積を求めよ．
(3)7で割ると2余り，11で割ると3余るような300以下の自然数をすべて求めよ．
国立 岐阜大学 2011年 第4問空間内の四面体OABCについて，$\angle \text{OAC}=\angle \text{OAB}=90^\circ,\ \angle \text{BOC}=\alpha,\ \angle \text{COA}=\beta,\ \angle \text{AOB}=\gamma,\ \text{OA}=1$とする．ただし，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$はすべて鋭角で，$\displaystyle \cos \alpha=\frac{1}{4},\ \cos \beta=\frac{1}{\sqrt{3}},\ \cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{3}}$である．三角形ABCの外接円を$S$とし，その中心をPとする．以下の問に答えよ．
(1)辺BCの長さを求めよ．
(2)$\theta=\angle \text{BAC}$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)線分OPの長さを求めよ．
(4)円$S$の周上に点Dをとり，線分ADと線分DBの長さをそれぞれ$\text{AD}=x,\ \text{DB}=y$とする．$x+y$の最大値とそれを与える$x,\ y$を求めよ．
(1)辺BCの長さを求めよ．
(2)$\theta=\angle \text{BAC}$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)線分OPの長さを求めよ．
(4)円$S$の周上に点Dをとり，線分ADと線分DBの長さをそれぞれ$\text{AD}=x,\ \text{DB}=y$とする．$x+y$の最大値とそれを与える$x,\ y$を求めよ．
国立 宮城教育大学 2011年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$と点$\mathrm{P}$について，
\[ 6 \overrightarrow{\mathrm{OP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立っている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{AQ}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$に対する四面体$\mathrm{PABR}$の体積$W$の比$\displaystyle \frac{W}{V}$を求めよ．
\[ 6 \overrightarrow{\mathrm{OP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立っている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{AQ}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$に対する四面体$\mathrm{PABR}$の体積$W$の比$\displaystyle \frac{W}{V}$を求めよ．