座標空間における$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ \sqrt{2},\ 1)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{\sqrt{6}}{6},\ \frac{\sqrt{3}}{6} \right)$，$\mathrm{R}(0,\ -1,\ \sqrt{2})$について次の問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{AOC}$，$\angle \mathrm{BOC}$，$\angle \mathrm{AOR}$，$\angle \mathrm{BOR}$を求めよ．
(2)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は同一平面上にあることを示せ．
(3)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は正の実数$s,\ t$について$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたすものとする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{Q}$が$1$直線上にあるとき，四面体$\mathrm{OPQR}$の体積の最小値とそのときの$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

空間における$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ -1)$，$\mathrm{B}(3,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 3,\ 0)$を通る平面を$\alpha$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$は直角二等辺三角形であることを示せ．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，その交点を$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$に外接する球の中心の座標を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$がある．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．$\mathrm{O}$から$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
を満たすような実数$s,\ t$の値を求めよ．また，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球の半径$r$を求めよ．

空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とし，原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．

(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表し，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2$である四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$から$\mathrm{OC}$に下ろした垂線と$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\mathrm{OG}$と$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として，次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABG}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の何倍かを求めよ．

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2$である四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$から$\mathrm{OC}$に下ろした垂線と$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\mathrm{OG}$と$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として，次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABG}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の何倍かを求めよ．

座標空間における点$\mathrm{A}(2,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ -1)$に対し，以下の設問に答えよ．ただし$\mathrm{O}$は原点を表す．

(1)$\cos \angle \mathrm{AOB}$を求めよ．
(2)$x \geqq 0$の範囲にある点$\mathrm{C}(x,\ y,\ z)$で，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方と直交し，かつ$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|=5$となるものを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

四面体の$4$つの頂点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$とし，空間のある点$\mathrm{P}$に関するそれぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3}$，$\overrightarrow{a_4}$とする．いま$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$を順に$\mathrm{T}_1$，$\mathrm{T}_2$，$\mathrm{T}_3$，$\mathrm{T}_4$で表しその重心をそれぞれ$\mathrm{G}_1$，$\mathrm{G}_2$，$\mathrm{G}_3$，$\mathrm{G}_4$とする．

(1)点$\mathrm{H}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PH}}=\frac{\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+\overrightarrow{a_4}}{4}$を満たす点とすると，$4$つの直線$\mathrm{A}_i \mathrm{G}_i (i=1,\ 2,\ 3,\ 4)$は$\mathrm{H}$で交わることを示せ．
(2)「直線$\mathrm{A}_i \mathrm{H}$は$\mathrm{T}_i$を含む平面に直交する（$i=1,\ 2,\ 3,\ 4$）」という条件が成り立つと仮定する．このとき$\mathrm{P}$として$\mathrm{H}$を選べば，$\overrightarrow{a_j}$と$\overrightarrow{a_k}$の内積$\overrightarrow{a_j} \cdot \overrightarrow{a_k} (j,\ k=1,\ 2,\ 3,\ 4)$の値は$j \neq k$を満たすどの$j,\ k$に対しても同じであることを示せ．
(3)(2)の条件が成り立てば，四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$は正四面体であることを示せ．

一辺の長さが$8$である正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$があって，$\mathrm{AD}=\mathrm{OE}=\mathrm{OF}=5$を満たしている．$\triangle \mathrm{DEF}$の重心$\mathrm{G}$を通り$\triangle \mathrm{DEF}$を含む平面に垂直な直線が，$\triangle \mathrm{ABC}$を含む平面と交わる点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{DEFH}$の体積を求めよ．

正四面体$\mathrm{OABC}$において，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をそれぞれ辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上にとる．ただし$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は四面体$\mathrm{OABC}$の頂点とは異なるとする．$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形ならば，$3$辺$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RP}$はそれぞれ$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$に平行であることを証明せよ．