原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$をとる．点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円$C$を考える．$C$上の点で，第$1$象限にある点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{POA}=\theta$とする．

(1)$\displaystyle \angle \mathrm{OPA}=\frac{\pi}{[ケ]}$であり，$\displaystyle \triangle \mathrm{POA}=\frac{1}{[コ]} \sin \theta \cos \theta$である．
(2)四辺形$\mathrm{OBAP}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{[サ]}+\frac{1}{[シ]} \sin 2\theta$である．
(3)$\displaystyle \triangle \mathrm{POB}=\frac{1}{[ス]}+\frac{1}{[セ]} \cos 2\theta$である．
(4)$\triangle \mathrm{PBA}$の面積を$S$とすると，$\displaystyle S=\frac{1}{[ソ]}+\frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]} \sin \left( 2\theta-\frac{\pi}{[ツ]} \right)$であり，$S$は$\displaystyle \theta=\frac{[テ]}{[ト]} \pi$で最大値$\displaystyle \frac{1+\sqrt{[ナ]}}{[ニ]}$をとる．

以下の$[　]$にあてはまる数値または記号を求めよ．

(1)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
4x^2-100x<51 \\
|2x-5|+|6x-1|>15
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x<\frac{[　]}{[　]}$である．

(2)連立方程式$\left\{ \begin{array}{l}
3x-4y+5z=9 \\
5x+2y-3z=5 \\
2x+6y-z=-7
\end{array} \right.$の解は
\[ x=\frac{[　]}{[　]},\quad y=-\frac{[　]}{[　]},\quad z=-\frac{[　]}{[　]} \]
である．
(3)四辺形$\mathrm{ABCD}$が$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CD}=\sqrt{14}$，$\angle \mathrm{ABC}=60^\circ$，$\angle \mathrm{ADC}=90^\circ$をみたすとき，$\mathrm{AC}=[　] \sqrt{[　]}$，$\mathrm{AD}=\sqrt{[　]}$，四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$=[　]+[　] \sqrt{[　]}$であり，点$\mathrm{D}$を通る直線が辺$\mathrm{BC}$と垂直に交わる点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{DE}=[　]+\sqrt{[　]}$である．