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昭和大学 私立 昭和大学 2015年 第1問
以下の各問いに答えよ.

(1)次の連立方程式を解け.
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x+2y+3z=2 \\
-3x-3y+z=-14 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x+3y+2z=2 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(2)グラフが$x$軸と点$(2,\ 0)$および$(-3,\ 0)$で交わり,点$(6,\ 12)$を通るような$2$次関数を$y=ax^2+bx+c$とするとき,$a,\ b,\ c$をそれぞれ求めよ.
(3)正四角すい$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$において,底面$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2a$,高さは$a$である.点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線の長さを求めよ.
(4)循環小数の積$0.\dot{1} \dot{8} \times 0. \dot{0}1 \dot{1}$を$1$つの既約分数で表せ.
昭和大学 私立 昭和大学 2015年 第1問
以下の各問いに答えよ.

(1)次の連立方程式を解け.
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x+2y+3z=2 \\
-3x-3y+z=-14 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x+3y+2z=2 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
(2)グラフが$x$軸と点$(2,\ 0)$および$(-3,\ 0)$で交わり,点$(6,\ 12)$を通るような$2$次関数を$y=ax^2+bx+c$とするとき,$a,\ b,\ c$をそれぞれ求めよ.
(3)正四角すい$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$において,底面$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2a$,高さは$a$である.点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線の長さを求めよ.
(4)循環小数の積$0.\dot{1} \dot{8} \times 0. \dot{0}1 \dot{1}$を$1$つの既約分数で表せ.
福島県立医科大学 公立 福島県立医科大学 2013年 第3問
$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 0)$,$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 0)$,$\mathrm{C}(-1,\ -1,\ 0)$,$\mathrm{D}(1,\ -1,\ 0)$,$\mathrm{G}(0,\ 0,\ \sqrt{2})$を$xyz$空間の点とする.正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし,$\mathrm{G}$を頂点とする四角すいの内部の点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$で,$x^2+y^2 \leqq 1$を満たす点を集めた図形を$V$とする.また,平面$z=a$で$V$を切断したときの切断面を$S_a$とする.ただし,$0<a<\sqrt{2}$である.以下の問いに答えよ.

(1)$S_a$が正方形となる$a$の最小値を$z_0$とする.$z_0$の値を求めよ.
(2)$(1)$の$z_0$について,$0<a<z_0$とする.$\displaystyle \cos \theta=1-\frac{a}{\sqrt{2}}$を満たす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を用いて$S_a$の面積を表せ.
(3)$V$の体積を求めよ.
信州大学 国立 信州大学 2012年 第3問
下図のように,$x$軸,$y$軸,$z$軸上に辺があり,一辺の長さが3である立方体がある.点A$(0,\ 0,\ 3)$,B$(3,\ 0,\ 2)$,C$(3,\ 3,\ 1)$を通る平面で立方体を切断したときの切り口を四角形ABCDとする.このとき,次の問に答えよ.\\
\setlength\unitlength{1truecm}
(図は省略)

(1)$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$の値を求めよ.
(2)点P$(3,\ 3,\ 3)$から四角形ABCDに下ろした垂線の足をHとする.このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{BH}}=s \overrightarrow{\mathrm{BA}}+t \overrightarrow{\mathrm{BC}} \]
を満たす$s,\ t$を求めよ.
(3)点Pを頂点とし,四角形ABCDを底面とする四角すいの体積を求めよ.
信州大学 国立 信州大学 2012年 第1問
下図のように,$x$軸,$y$軸,$z$軸上に辺があり,一辺の長さが3である立方体がある.点A$(0,\ 0,\ 3)$,B$(3,\ 0,\ 2)$,C$(3,\ 3,\ 1)$を通る平面で立方体を切断したときの切り口を四角形ABCDとする.このとき,次の問に答えよ.

\setlength\unitlength{1truecm}
(図は省略)


(1)$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$の値を求めよ.
(2)点P$(3,\ 3,\ 3)$から四角形ABCDに下ろした垂線の足をHとする.このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{BH}}=s \overrightarrow{\mathrm{BA}}+t \overrightarrow{\mathrm{BC}} \]
を満たす$s,\ t$を求めよ.
(3)点Pを頂点とし,四角形ABCDを底面とする四角すいの体積を求めよ.
愛知教育大学 国立 愛知教育大学 2011年 第2問
$1$辺の長さが$2$の正方形の紙を用意し,頂点を$\mathrm{A}_1$,$\mathrm{A}_2$,$\mathrm{A}_3$, \\
$\mathrm{A}_4$と名づける.右図のように,正方形の各辺を底辺とする高さ \\
$1-t \ (0<t<1)$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_1$, \\
$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{B}_2$,$\triangle \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{B}_3$,$\triangle \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_4$を正方形から切り離す. \\
そして,4本の線分$\mathrm{B}_1 \mathrm{B}_2$,$\mathrm{B}_2 \mathrm{B}_3$,$\mathrm{B}_3 \mathrm{B}_4$,$\mathrm{B}_4 \mathrm{B}_1$で紙を折り, \\
点$\mathrm{A}_1$,$\mathrm{A}_2$,$\mathrm{A}_3$,$\mathrm{A}_4$が1点になるように辺を貼り合わせて四角すいを作る.このとき,以下の問いに答えよ.
\img{409_2566_2011_1}{55}


(1)この四角すいの表面積$S$を$t$の式で表せ.
(2)この四角すいの体積$V$を$t$の式で表せ.
(3)$\displaystyle \left( \frac{V}{S} \right)^2$を$f(t)$とおくとき,$f(t)$が3次関数になることを示し,$f(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ.
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「四角」とは・・・

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