次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}(1,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}(-1,\ -3)$，$\mathrm{D}(-4,\ 0)$に対して，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{F}$とする．$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$のうち，$\mathrm{E}$との距離より$\mathrm{F}$との距離の方が小さい点の集合$X$を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-2,\ 2,\ -1)$，$\mathrm{B}(4,\ -5,\ -3)$に対して，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．
(3)$\cos {40}^\circ=0.766$を用いて，$\cos {100}^\circ$の値を求めよ．ただし，答えは小数第$3$位を四捨五入せよ．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)塔の高さを測るために，塔から水平に$380 \; \mathrm{m}$離れた地点で塔の先端の仰角を測ったところ，$59^\circ$であった．目の高さを$1.6 \; \mathrm{m}$とすると，塔の高さは$[　] \, \mathrm{m}$である．（小数第$3$位を四捨五入すること．また，$\sin 59^\circ=0.8572$，$\cos 59^\circ=0.5150$，$\tan 59^\circ=1.6643$とする．）
(2)連立不等式$8x-12<4(x+2)<6x$を解くと，$[　]$である．
(3)点$(0,\ a)$から円$x^2+y^2=1$に引いた$2$本の接線の傾きを$a$を用いて表すと，$[　]$と$[　]$である．（ただし，$|a|>1$とする．）
(4)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2,\ 1)$とベクトル$\overrightarrow{b}=(2,\ 1,\ -1)$のなす角を$\theta_1 (0^\circ \leqq \theta_1 \leqq 180^\circ)$とし，ベクトル$\overrightarrow{c}=(1,\ -1,\ 2)$とベクトル$\overrightarrow{d}=(-4,\ 2,\ 3)$のなす角を$\theta_2 (0^\circ \leqq \theta_2 \leqq 180^\circ)$とする．このとき，$\theta_1$と$\theta_2$の大小関係は$[　]$である．
(5)次の和を求めよ．

(i) $1 \cdot 1+2 \cdot 3+3 \cdot 5+\cdots +n \cdot (2n-1)=[　]$
(ii) $1 \cdot 1^2+2 \cdot 3^2+3 \cdot 5^2+\cdots +n \cdot (2n-1)^2=[　]$

(6)次の値を求めよ．
$(ⅰ) \sqrt[6]{64}=[　] \qquad (ⅱ) \sqrt[5]{0.00001}=[　]$
$(ⅲ) \sqrt[3]{216}=[　] \qquad \tokeishi \sqrt[3]{\sqrt{729}}=[　]$
(7)$2$次方程式$x^2+2kx+(2k+3)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$0<\alpha<1$，$2<\beta<3$となるような定数$k$の値の範囲は，$[　]$である．
(8)赤色の球が$2$個，青色の球が$3$個，黄色の球が$4$個入った袋がある．この袋から同時に$3$個の球を取り出すとき，取り出した球に赤色の球が含まれない確率は$[　]$であり，取り出した球の色が$2$種類である確率は$[　]$である．

次の問に答えよ．

(1)実数$x$が$4^x+4^{-x}=7$をみたすとき，$8^x+8^{-x}$の値を求めよ．
(2)整数$x$の$1$桁目を四捨五入した値を$\langle x \rangle$と表す．例えば，$\langle 4 \rangle=0$，$\langle 5 \rangle=10$，$\langle 11 \rangle=10$である．サイコロを$2$回投げたとき，$1$回目に出る目の数を$x$，$2$回目に出る目の数を$y$とする．$\langle x+y \rangle=\langle x \rangle+\langle y \rangle$となる確率を求めよ．

ある作業をするためにかかる時間は，作業回数に応じて変化し，$n$回目の作業時間$T_n$秒は，以下の式で示される．
\[ T_n=T_1 \cdot n^{-k} \]
ただし，$T_1$は$1$回目の作業時間，$k$は作業の種類によって異なる正の定数である．$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}2=0.3010$として次の問いに答えなさい．

(1)作業$\mathrm{A}$の$1000$回目の作業時間が$150$秒，$2000$回目の作業時間が$50$秒であるときに，$k$の値を四捨五入して小数第$3$位まで求めよ．
(2)作業$\mathrm{B}$の$100$回目の作業時間が$1$回目の作業時間の半分になった．このときの$k$の値を，四捨五入して小数第$3$位まで求めよ．また，作業時間が$100$回目のさらに半分に縮まるのは，何回目の作業か．

電車が直線の線路を一定の速度で走っている．ある時刻に前方の右手に高さ$634 \mathrm{m}$の塔が見えた．そのとき塔の先端を見上げる角が$30^\circ$であった．その$1$分後に電車が塔に最も近づき，見上げる角は$45^\circ$になった．この電車は時速何$\mathrm{km}$で走っていますか．小数第$1$位を四捨五入して，整数で求めなさい．

ただし，線路は水平面上にしかれており，塔はその水平面上にたっているとする．また，見上げる角は，電車の高さおよび目までの高さを無視してこの水平面となす角とする．

$a$を自然数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -1 \\
1 & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換を$f$とする．

(1)$r>0$および$0 \leqq \theta < 2\pi$を用いて$A=\left( \begin{array}{cc}
r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & r \cos \theta
\end{array} \right)$と表すとき，$r,\ \cos \theta,\ \sin \theta$を$a$で表せ．
(2)点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$に対し，点$\mathrm{Q}_n (n = 1,\ 2,\ 3)$を
\[ \mathrm{Q}_1 = \mathrm{Q},\quad \mathrm{Q}_{n+1} = f(\mathrm{Q}_n) \]
で定める．$\triangle \mathrm{OQ}_n \mathrm{Q}_{n+1}$の面積$S(n)$を$a$と$n$を用いて表せ．
(3)$f$によって点$(2,\ 7)$に移されるもとの点$\mathrm{P}$の$x$座標の小数第一位を四捨五入して得られる近似値が$2$であるという．自然数$a$の値を求めよ．またこのとき$S(n)>{10}^{10}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし$0.3 < \log_{10}2 < 0.31$を用いてよい．

$r$を正の定数とし，$n$を$3$以上の自然数とする．$C$が半径が$r$の円とする．円$C$に内接する正$n$角形の$1$辺の長さを$s_n$，円$C$に外接する正$n$角形の$1$辺の長さを$t_n$とする．ただし，正$n$角形が円$C$に外接するとは，円$C$が正$n$角形のすべての辺に接することである．

(1)$s_n$を$r$と$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{s_n}{t_n}$を$n$を用いて表せ．
(3)$s_5=2$であるとき，円$C$に内接する正$5$角形の面積を，小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．ただし，$\tan 36^\circ=0.727$としてよい．

次の$2$つの条件を同時にみたす正の整数$a,\ b$を求めよ．

(条件1) $\sqrt{a+b}$の小数第$2$位を四捨五入すると$3.3$になる．
(条件2) $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$の小数第$2$位を四捨五入すると$1.6$になる．

ある感染症の対策について考える．感染症の防御のためには感染拡大の試算が必要であり，感染拡大は自然にはその感染症の感染力と，致死性によって予測される．感染経路は，飛沫，接触，飲食などいろいろあり，感染力の制御，つまり感染を広げないために，ワクチン開発はもちろんであるが，外出規制（イベントの自粛や学級閉鎖など），手洗い呼びかけ，などが有効である． \\
ここでは簡単のために，$1$つの感染症のみを考え，ある一定の集団（たとえば$1000$人程度の島）を対象とし，外部との接触，出入りがないと仮定する．最初の時点での過去感染者，未感染者，現在感染者の割合をそれぞれ$x_0,\ y_0,\ z_0$とする．現在感染者は$1$か月後にはすべて過去感染者となり，一度感染した人はもう感染しない．また幸いなことにこの感染により死者は生じず，また簡単のために他要因による死者，あるいは出生，転入出もないとする． \\
$1$か月ごとの変動を見ることとし，$i$か月後の時点の上記の割合をそれぞれ$x_i,\ y_i,\ z_i$で示す．症状は丁度$1$か月続くので，一人の人が現在感染者として数えられるのは$1$回のみである． \\
過去感染者は，それまでの過去感染者に，$1$か月前の現在感染者を足したものである．また，現在感染者は，$1$か月前の未感染者と$1$か月前の現在感染者の接触頻度と，この感染症の感染力によって決まる．接触頻度の係数を$a$，感染力の係数を$b$とすると，現在感染者の割合は$1$か月前の現在感染者の割合，未感染者の割合，$a,\ b$の$4$つをかけたもので求められる． \\
$x_0=0$，$y_0=0.9$，$z_0=0.1$として，以下の問いに答えよ．計算は小数点以下第$4$位を四捨五入して求めよ．

(1)$x_i,\ y_i,\ z_i$を，$x_{i-1},\ y_{i-1},\ z_{i-1},\ a,\ b$で表せ．
(2)$a=1,\ b=1$として，$x_1,\ y_1,\ z_1,\ x_2,\ y_2,\ z_2,\ x_3,\ y_3,\ z_3$をそれぞれ求めよ．
(3)$a=1$，感染力の係数$b$を$2$とした時の$x_1,\ x_2,\ x_3$を求めよ．
(4)手洗いの徹底や外出規制が最初からなされたとして，$a=0.5$，$b=1$とした時の，$x_1,\ x_2,\ x_3$を求め，(2)，(3)の結果と共に，縦軸を過去感染者の割合，横軸を時間として，$3$つの場合の変化を同一座標上にグラフで示せ．

関数$\displaystyle f_n(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- \cdots +\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \ $(ただし$x \geqq 0,\ n=1,\ 2,\ \cdots$)について，次の問いに答えよ．

(1)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x)$を求めよ．
(2)$n$が偶数のとき，$f_n(x) \leqq \log (1+x)$，$n$が奇数のとき$f_n(x) \geqq \log (1+x)$であることを示せ．
(3)(2)を利用して$\displaystyle \log \frac{6}{5}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{1}{250}+\frac{1}{251}+\cdots +\frac{1}{299}+\frac{1}{300}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．