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浜松医科大学 国立 浜松医科大学 2016年 第1問
自然数$n$のすべての正の約数の和を表す関数を$f(n)$,正の約数の個数を表す関数を$g(n)$とおく.ただし,$1$および$n$も$n$の正の約数であり$f(1)=g(1)=1$とする.例えば,$n=12$のとき,$n$の正の約数は$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12$なので
\[ f(12)=1+2+3+4+6+12=28,\quad g(12)=6 \]
である.以下の問いに答えよ.

(1)$f(24)$,$g(24)$の値を求めよ.
(2)$g(n)$の値が奇数となる$n$は,ある自然数の平方であることを証明せよ.



以下の問題では,$n$は偶数とする.


\mon[$(3)$] $m$を正の整数とし,$n=2^{m-1}(2^m-1)$とおく.このとき,$2^m-1$が素数ならば$f(n)=2n$となることを証明せよ.
\mon[$(4)$] 平方数ではない偶数$n$が$f(n)=2n$を満たしているとする.このとき,$n$のすべての正の約数の逆数の和はある一定の数に等しいことを示し,その数を求めよ.
浜松医科大学 国立 浜松医科大学 2016年 第2問
$r$を$1<r<3$を満たす実数,$k$を$|r-2|<k<1$を満たす実数とする.また,次の関数$f(x)$を考える.
\[ f(x)=rx(1-x) \]
以下の問いに答えよ.

(1)$f(x)=x$を満たす$x$を求めよ.



以下の問題では,$(1)$で求めた$x$のうちで正のものを$x_r$とする.


\mon[$(2)$] 次の条件

$|x-x_r|<a$を満たすすべての$x$について$|f^\prime(x)|<k$

が成り立つような正の実数$a$が存在することを証明せよ.
\mon[$(3)$] $(2)$の$a$に対して,数列$\{x_n\}$を
\[ |x_1-x_r|<a,\quad x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める.

(i) すべての自然数$n$について$|x_n-x_r|<a$であることを証明せよ.
(ii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=x_r$を証明せよ.
東北学院大学 私立 東北学院大学 2016年 第1問
次の各問題の$[ ]$に適する答えを記入せよ.

(1)$\sin \theta+\cos \theta=k$とするとき$\displaystyle \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}$を$k$を用いて表すと$[ア]$である.
(2)$2^{2016} \cdot 3^{2020}$は$[イ]$桁の数である.ただし,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$とする.
(3)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 1,\ 3)$,$\overrightarrow{b}=(2,\ 0,\ -3)$の両方に垂直で,大きさが$1$のベクトルを成分表示すると$[ウ]$となる.
愛知工業大学 私立 愛知工業大学 2016年 第1問
次の$[ ]$を適当に補え.$(6)$,$(7)$は選択問題である.

(1)$a$を定数とする.不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である.また,不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である.
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする.このとき,$a_4=[ウ]$であり,$a_n=[エ]$である.
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である.
(4)$a$を定数とし,$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする.区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき,$a=[カ]$である.またこのとき,区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である.
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする.$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり,このとき,$z^n=[ケ]$である.ただし,$i$は虚数単位である.
(6)$1$枚の硬貨を投げ,表が出たときは白球$1$個を壺に入れ,裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる.硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている.

(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である.
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき,それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である.

(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である.
北九州市立大学 公立 北九州市立大学 2016年 第1問
数列$\{a_n\}$は,初項から第$n$項までの和が次の$S_n$で与えられるとする.
\[ S_n=2-\frac{n+2}{2^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また,数列$\{b_n\}$と$\{c_n\}$は
\[ b_n=\frac{a_n}{n},\quad c_n=na_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められるとする.以下の問題に答えよ.

(1)$a_1$と$a_2$を求めよ.
(2)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ.
(3)数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を求めよ.
(4)数列$\{c_n\}$について,$c_{n+1}$を$a_n$と$b_n$と$c_n$を用いて表せ.
(5)数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$U_n$を求めよ.
北九州市立大学 公立 北九州市立大学 2016年 第3問
座標平面上の$4$点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$,$\mathrm{A}(k,\ 1)$,$\mathrm{B}(k,\ -1)$とする.ただし,$k>1$,$0^\circ<\theta<{90}^\circ$であるとする.以下の問題に答えよ.

(1)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$\theta$と$k$を用いて表せ.
(2)直線$\mathrm{PB}$と$x$軸の交点を$\mathrm{C}$とするとき,$\triangle \mathrm{OPC}$の面積を$\theta$と$k$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{PB} \perp \mathrm{OA}$が成り立つための条件を$\theta$と$k$を用いて表せ.
(4)$\theta={30}^\circ$のとき,$\mathrm{PB} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとする.このとき,$k$の値を求めよ.
北九州市立大学 公立 北九州市立大学 2016年 第2問
座標平面上の原点$\mathrm{O}$と$2$次関数$f(x)=-x^2+ax$を考える.ただし,$a$は正の定数である.以下の問題に答えよ.

(1)$y_1=-x^2+x$,$y_2=-x^2+2x$とする.$\displaystyle \frac{y_2}{y_1}>0$となる$x$の値の範囲を求めよ.また,次の式を満たす$x$の値を求めよ.
\[ \log_2 \left( \frac{y_2}{y_1} \right)=2 \]
(2)積分$\displaystyle \int_0^1 |f(x)| \, dx$の値を$a$を用いて表せ.また,この値が最小となるときの$a$の値を求めよ.
(3)$\displaystyle a=\frac{5}{4}$とする.関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする.曲線$C$上の$2$点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$,$\mathrm{Q}(p+1,\ f(p+1))$とし,点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$から$x$軸へ下ろした各々の垂線を$\mathrm{PP}^\prime$,$\mathrm{QQ}^\prime$とする.ただし,$p$は$\displaystyle 0<p<\frac{1}{4}$または$\displaystyle \frac{1}{4}<p<1$を満たす.点$\mathrm{P}$,$\mathrm{P}^\prime$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{Q}^\prime$を結ぶ図形が平行四辺形となるとき,$p$の値を求めよ.
北九州市立大学 公立 北九州市立大学 2016年 第4問
$1$個のサイコロを$1$回投げ,出た目の数と同じ回数だけ$1$枚のコインを繰り返し投げる.以下の問題に答えよ.

(1)サイコロの出た目が$4$であった場合に,コインの表の出た回数と裏の出た回数が同じである確率を求めよ.
(2)コインの表と裏が交互に出る確率を求めよ.ただし,交互とは複数回コインを投げて表と裏が互い違いに出る場合をいう.
(3)コインの表の出た回数と裏の出た回数が同じである確率を求めよ.
(4)コインの表の出た回数が裏の出た回数より多い確率を求めよ.
(5)コインの表の出た回数と裏の出た回数が同じである場合に,サイコロの出た目が$4$であった確率を求めよ.
岩手大学 国立 岩手大学 2015年 第1問
必答問題$(1)$,$(2)$の$2$問と,選択問題$(3)$,$(4)$のいずれか$1$問を選択し,計$3$問を解答せよ.

(1)(必答)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-2,\ 1,\ 2)$,$\overrightarrow{b}=(-1,\ 1,\ 0)$について,$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$とする.$t$がすべての実数値をとって変化するとき,$|\overrightarrow{p}|$の最小値を求めよ.
(2)(必答)$3$直線$4x-3y+3=0$,$x-4y+4=0$,$3x+y-14=0$で作られる三角形の面積を求めよ.
(3)(選択)複素数$\displaystyle z=2 \left( \cos \frac{11}{12} \pi+i \sin \frac{11}{12} \pi \right)$のとき,$z^2$,$z^{-3}$および${|z-\displaystyle\frac{1|{z}}}^2$を求めよ.ただし,$i$は虚数単位とする.
(4)(選択)$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
4 & 2 \\
1 & 3
\end{array} \right)$,$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$について,$B^{-1}AB$,$(B^{-1}AB)^n$および$A^n$を求めよ.ただし,$n$は正の整数とする.
東北学院大学 私立 東北学院大学 2015年 第1問
次の各問題の$[ ]$に適する答えを記入せよ.

(1)$\log_9 (x^2+1)-\log_3 x=1$のとき$x=[ア]$である.
(2)$\sqrt{3} \sin \theta-\cos \theta=2 \sin (\theta-\alpha)$のとき$\alpha=[イ]$である.ただし$0<\alpha<\pi$とする.
(3)$3$の倍数で$1000$以下の自然数すべての和は$[ウ]$である.
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