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九州大学 国立 九州大学 2010年 第3問
$xy$平面上に原点Oを中心とする半径1の円を描き,その上半分を$C$とし,その両端をA$(-1,\ 0)$,B$(1,\ 0)$とする.$C$上の2点N,Mを$\text{NM}=\text{MB}$となるように取る.ただし,$\text{N} \neq \text{B}$とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$\angle \text{MAB}=\theta$とおき,弦の長さMB及び点Mの座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点Nから$x$軸に下ろした垂線をNPとしたとき,PBを$\theta$を用いて表せ.
(3)$t=\sin \theta$とおく.条件$\text{MB}=\text{PB}$を$t$を用いて表せ.
(4)$\text{MB}=\text{PB}$となるような点Mが唯一あることを示せ.
東京工業大学 国立 東京工業大学 2010年 第1問
$f(x) = 1- \cos x-x \sin x$とする.

(1)$0<x< \pi$において,$f(x) = 0$は唯一の解を持つことを示せ.
(2)$\displaystyle J =\int_0^{\pi} | f(x) | \, dx$とする.(1)の唯一の解を$\alpha$とするとき,$J$を$\sin \alpha$の式で表せ.
(3)(2)で定義された$J$と$\sqrt{2}$の大小を比較せよ.
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「唯一」とは・・・

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