次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$を全体集合とする．$A$を$6$の正の約数がつくる部分集合とし，$A$の補集合を$\overline{A}$とする．$B$を$9$の正の約数がつくる部分集合とし，$B$の補集合を$\overline{B}$とする．$\overline{A} \cup B$の要素を書き並べて表すと$[ア]$であり，$A \cap \overline{B}$の要素を書き並べて表すと$[イ]$である．
(2)等式$\displaystyle f(x)=-6x+2 \int_{-1}^2 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は，$f(x)=[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+2ax+a=0$が$x=-a$を解として持つときの$a$の値をすべて求めると，$a=[エ]$である．
(4)$2$進法で表された数$1101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[オ]$である．
(5)複素数$x=a+bi (a>0,\ b>0)$が$x^4=-9$を満たすとき，定数$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$\cos 2\theta-\cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると，$\theta=[ク]$である．
(7)不等式$\displaystyle -2<\log_{8}x<\frac{5}{3}$を解くと，$\displaystyle \frac{1}{[ケ]}<x<[コ]$である．ただし，空欄に入る数は整数である．
(8)$p,\ q$を実数とし，$q>4$とする．座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(p,\ q)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ -1)$，$\mathrm{D}(5,\ 3)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta=[サ]$である．

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)全体集合$U$と，その部分集合$A,\ B$について$n(U)=140$，$n(A)=80$，$n(B)=70$，$n(A \cap B)=20$のとき，次の個数を求めよ．

(i) $n(A \cup \overline{B})=[$1$]$である．
(ii) $n(\overline{A} \cap \overline{B})=[$2$]$である．

(2)$\sqrt{630n}$が自然数になるような最小の自然数$n$は$n=[$3$]$である．

(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．

このとき，$a=[$4$]$，$b=\sqrt{[$5$]}-[$6$]$である．

また，$\displaystyle \frac{10a}{b}=[$7$] \sqrt{[$8$]}+[$9$]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$2$つの整式の和が$2x^2+4x-1$で，差が$-2x^2+2x+5$であった．このとき$2$つの整式を求めよ．$[$1$]$
(2)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15 \}$の部分集合を$A,\ B,\ C$とする．

$A \cap B=\{4,\ 8,\ 15 \}$，$B \cap C=\{4,\ 6,\ 11,\ 15 \}$，$A \cap C=\{4,\ 7,\ 15 \}$

$\overline{A} \cap B=\{6,\ 11,\ 12,\ 14 \}$，$A \cap \overline{B}=\{2,\ 7,\ 10 \}$，$\overline{B} \cap C=\{3,\ 5,\ 7 \}$

のとき，

$A \cap B \cap C=[$2$]$，$A=[$3$]$，$B=[$4$]$，$C=[$5$]$，

$\overline{A \cup B \cup C}=[$6$]$である．

$\alpha,\ \beta$を正の無理数とする．$2$つの集合$A,\ B$を
\[ A=\{ \, [n \alpha] \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \, \},\quad B=\{ \, [n \beta] \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \, \} \]
で定める．集合$C$を$A$と$B$の共通部分とする．集合$D$を$A$と$B$の和集合とする．$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$のとき以下の問いに答えよ．ただし，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す．

(1)$C$は空集合となることを示せ．
(2)$E=\{ \, n \;|\; n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 99 \, \}$のとき，$E$は$D$の部分集合となることを示せ．

座標空間の$x$軸上に動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は時刻$0$において，原点を出発する．$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向に，$\mathrm{Q}$は$x$軸の負の方向に，ともに速さ$1$で動く．その後，ともに時刻$1$で停止する．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を中心とする半径$1$の球をそれぞれ$A,\ B$とし，空間で$x \geqq -1$の部分を$C$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)時刻$t (0 \leqq t \leqq 1)$における立体$(A \cup B) \cap C$の体積$V(t)$を求めよ．
(2)$V(t)$の最大値を求めよ．

$n$を自然数，$i$を虚数単位とする．集合$I_1,\ I_2,\ I_3,\ I_4$，および$A$を

$I_1=\{k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_2=\{-k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_3=\{ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_4=\{-ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$A=I_1 \cup I_2 \cup I_3 \cup I_4 \cup \{0\}$

とする．集合$A$の要素が$1$つずつ書かれたカードが$4n+1$枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている要素は異なるものとする．これらのカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．左から$k$番目のカードに書かれた数を$X_k$とするとき，次の確率を求めよ．

(1)積$X_1X_2X_3$が$0$となる．
(2)積$X_1X_2X_3$が実数となる．
(3)和$X_1+X_2$が実数となる．
(4)$X_1(X_2+X_3)$が$0$となる．

$n$を自然数，$i$を虚数単位とする．集合$I_1,\ I_2,\ I_3,\ I_4$，および$A$を

$I_1=\{k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_2=\{-k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_3=\{ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_4=\{-ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$A=I_1 \cup I_2 \cup I_3 \cup I_4 \cup \{0\}$

とする．集合$A$の要素が$1$つずつ書かれたカードが$4n+1$枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている要素は異なるものとする．これらのカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．左から$k$番目のカードに書かれた数を$X_k$とするとき，次の確率を求めよ．

(1)積$X_1X_2X_3$が$0$となる．
(2)積$X_1X_2X_3$が実数となる．
(3)和$X_1+X_2$が実数となる．
(4)$X_1(X_2+X_3)$が$0$となる．
(5)$X_1(X_2+X_3)$が実数となる．

$n$を自然数，$i$を虚数単位とする．集合$I_1,\ I_2,\ I_3,\ I_4$，および$A$を

$I_1=\{k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_2=\{-k \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_3=\{ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$I_4=\{-ki \;|\; k \text{は} n \text{以下の自然数} \}$
$A=I_1 \cup I_2 \cup I_3 \cup I_4 \cup \{0\}$

とする．集合$A$の要素が$1$つずつ書かれたカードが$4n+1$枚ある．ただし，それぞれのカードに書かれている要素は異なるものとする．これらのカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．左から$k$番目のカードに書かれた数を$X_k$とするとき，次の確率を求めよ．

(1)積$X_1X_2X_3$が$0$となる．
(2)積$X_1X_2X_3$が実数となる．
(3)和$X_1+X_2$が実数となる．
(4)$X_1(X_2+X_3)$が$0$となる．

$1$から$9$までの自然数のそれぞれに赤か青の色を付ける操作を考える．

(1)$X$をこれら$1$から$9$までの自然数のうちの相異なる$3$つの数からなる集合とする．$1$から$9$のそれぞれに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で赤か青の色を付けるとき，$X$に属するすべての数がすべて同じ色である確率を求めよ．
(2)一般に，ある試行における$3$つの事象$A,\ B,\ C$について，
\[ P(A \cup B \cup C) \leqq P(A)+P(B)+P(C) \]
が成り立つことを示せ．ここで$P(A)$は事象$A$が起こる確率である．
(3)$1$から$9$までの自然数のうちの相異なる$3$つの数からなる集合が$3$つある．それを$X,\ Y,\ Z$とする．$1$から$9$のそれぞれに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で赤か青の色を付ける操作をしたとき，$X,\ Y,\ Z$のどれにも両方の色の数が含まれる確率が$0$ではないことを示せ．ただし，$X \cap Y$，$Y \cap Z$，$Z \cap X$は空集合とは限らない．

事象$X$の確率を$P(X)$で表し，$X$の余事象を$\overline{X}$で表す．事象$A,\ B$が
\[ P(A \cap B)=P(A)P(B) \]
をみたすとき，以下の設問に答えよ．

(1)$P(\overline{A} \cap \overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B})$を示せ．
(2)$\displaystyle P(A \cup B)=\frac{3}{5},\ P(\overline{A} \cup \overline{B})=\frac{13}{15},\ P(A)>P(B)$であるとき，$P(A)$および$P(B)$を求めよ．