以下の各問いに答えなさい．

(1)以下の図において$\overline{A \cap B}$の部分を塗りつぶしなさい．
（図は省略）
(2)$A=\{2x \;|\; 1 \leqq x \leqq 10,\ x \text{は自然数} \}$，$B=\{3y \;|\; 1 \leqq y \leqq 10,\ y \text{は自然数} \}$のとき，$A \cap B$の要素をすべて答えなさい．
(3)命題「$x^2-1=0 \Longrightarrow x=1$または$x=-1$」の対偶を答えなさい．
(4)次の表中$①$～$⑤$（ \quad ）内に，命題「$p \Longrightarrow q$」が成立するように，次の（ア）～（ケ）から適切なものを \underline{すべて} 選び記号で答えなさい．

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$p$ & $q$ \\ \hline
犬である． & $①$（ \qquad ） \\ \hline
宜野湾市である． & $②$（ \qquad ） \\ \hline
$x=5$ & $③$（ \qquad ） \\ \hline
$④$ （ \qquad ） & ほ乳類である． \\ \hline
$⑤$ （ \qquad ） & $x=-2$または$x=3$ \\ \hline
\end{tabular}

\begin{screen}
（ア） $x$は偶数である． \quad （イ） $x$は$2$の倍数である． \quad （ウ） $0<x<10$ \\
（エ） 動物である． \quad （オ） 沖縄県である． \quad （カ） 人間である． \\
（キ） $|x| \geqq 5$ \quad （ク） $x^2-x-6=0$ \quad （ケ） $x^2-x+6=0$
\end{screen}
(5)$x+y=2$ならば$x \leqq 1$または$y \leqq 1$であることを背理法によって証明しなさい．

次の空欄$[ア],\ [イ]$に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄$[ウ]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)ある自然数$n$について，命題「$n$が偶数ならば$n^2$は偶数である」の逆は$[ア]$，対偶は$[イ]$である．
(2)$3$次方程式$x^3+2x^2-8x-21=0$の解は$x=[ウ],\ [エ],\ [オ]$である．
(3)${(2x+\cos \theta)}^3$を展開したときの$x^2$の係数が$-6$のとき，$\theta=[カ]$である．ただし，$0 \leqq \theta<\pi$とする．
(4)$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+2k^2=0$が実数解をもつような実数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(5)不等式$-1+2 \log_2 (x+1)>\log_{\frac{1}{2}}(2-x)$を満たす$x$の値の範囲は$[ク]$である．
(6)$\mathrm{A}$君が徒歩と自転車で移動した．スタート地点から途中まで分速$80 \, \mathrm{m}$で$30$分歩き，その後自転車に乗って$10$分進んでゴールに着いたところ，平均の速さは分速$130 \, \mathrm{m}$であった．このときの自転車の速さは分速$[ケ] \, \mathrm{m}$である．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x,\ y,\ -1)$の大きさが等しく，なす角が${60}^\circ$のとき，$x$の値は$[コ]$，$[サ]$である．
(8)数列$1,\ 11,\ 111,\ 1111,\ 11111,\ \cdots$の第$n$項を$n$の式で表すと，$[シ]$となる．

以下の問に答えよ．

(1)次の$(ⅰ)$～$(ⅲ)$の文章が命題であれば真偽を答えよ．また真の場合は理由を示し，偽の場合は反例を示せ．命題でない場合は「命題でない」と答えよ．

(i) $x$が整数ならば$x^2 \geqq 0$である．
(ii) $n$が$2$以上の整数であるとき$2^n-1$はすべて素数である．
(iii) 数学は美しい．

(2)次の$(ⅰ)$～$\tokeigo$の$[　]$の中に，必要条件であるが十分条件でない，十分条件であるが必要条件でない，必要十分条件である，必要条件でも十分条件でもない，のいずれが当てはまるか答えよ．

(i) $x$が偶数であることは，$x$が整数であるための$[　]$．
(ii) 三角形$\mathrm{ABC}$のどれかひとつの辺の長さの$2$乗がのこりの$2$辺の長さの$2$乗の和に等しいことは，三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形であるための$[　]$．
(iii) $x,\ y$がともに有理数のとき，$y>2x^2$であることは，$y>x^2-2x-2$であるための$[　]$．
\mon[$\tokeishi$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の内角が$4$つとも$90^\circ$であることは，四角形$\mathrm{ABCD}$が正方形であるための$[　]$．
\mon[$\tokeigo$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さがすべて等しいことは，四角形$\mathrm{ABCD}$が長方形であるための$[　]$．

(3)次の命題(ア)，(イ)の逆，裏，対偶をそれぞれ書け．また，元の命題，逆，裏，対偶の真偽をそれぞれ答えよ．

\mon[(ア)] $\sqrt{n}$が有理数ならば$n$は有理数である．
\mon[(イ)] $n$を整数とする．$n$が奇数ならば$n^2$は奇数である．

次の命題(p)，(q)のそれぞれについて，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．

\mon[(p)] 正$n$角形の頂点から$3$点を選んで内角の$1$つが$60^\circ$である三角形を作ることができるならば，$n$は$3$の倍数である．
\mon[(q)] $\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{BC}=\mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$，$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{A}^\prime$ならば，これら$2$つの三角形は合同である．

次の命題(p)，(q)のそれぞれについて，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．

\mon[(p)] 正$n$角形の頂点から$3$点を選んで内角の$1$コが$60^\circ$である三角形を作ることができるならば，$n$は$3$の倍数である．
\mon[(q)] $\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{ABD}$において，$\mathrm{AC}<\mathrm{AD}$かつ$\mathrm{BC}<\mathrm{BD}$ならば．$\angle \mathrm{C} > \angle \mathrm{D}$である．

すべての項が整数である数列を整数列という．$p,\ q,\ r,\ s$を実数とし，正の整数$n$に対し
\[ a_n=p+qn+rn^2,\quad b_n=p+qn+rn^2+sn^3 \]
とおく．このとき以下の命題を示せ．

(1)数列$\{a_n\}$が整数列ならば，$2r$は整数である．
(2)数列$\{b_n\}$が整数列であるための必要十分条件は，$p$と$q+r+s$と$2r$と$6s$がいずれも整数となることである．

以下の各問に答えよ．

(1)$2x^2y+5xy^2-6x^2+2y^3-6y^2-15xy$を因数分解せよ．
(2)$p,\ q$を実数の定数とする．3次方程式$x^3+px^2+qx+6=0$の1つの解が$\displaystyle x=\frac{2}{1-i}$であるとき，$p,\ q$の値と他の解を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)実数$a,\ b$に関する命題「$a+b<0$ならば，$a<0$または$b<0$」を命題$\mathrm{P}$とする．

(i) 命題$\mathrm{P}$の真偽を答えよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(ii) 命題$\mathrm{P}$の逆を命題$\mathrm{Q}$とする．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

$f(x)=x^2-5$として，数列$\{a_n\}$を次のように定義する．\\
\quad $a_1=3$，点$(a_n,\ f(a_n))$における曲線$y=f(x)$の接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_{n+1}$とする$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$。\\
\quad 次の問いに答えよ．

(1)$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(2)命題$P(n)$を$\lceil \sqrt{5} < a_{n+1} < a_n \rfloor$とするとき，すべての正の整数$n$に対して$P(n)$が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)次の不等式が共に成り立つ1より小さい正の数$r$が存在することを示せ．

(4)$a_{n+1}-\sqrt{5} \leqq r(a_n-\sqrt{5}) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(5)$a_n -\sqrt{5} \leqq r^{n-1} \quad (n= 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

$k$を正の定数とし，$x,\ y$を実数とする．

(1)不等式$|y| \leqq -x^2+1$の表す領域を図示せよ．
(2)$k=1$のとき，不等式$|x|+|y| \leqq k$の表す領域を図示せよ．
(3)命題「$|y| \leqq -x^2+1$ならば$|x|+|y| \leqq k$」が真であるための必要十分条件を$k$の不等式を用いて表せ．

次の各問に答えよ．

(1)$x,\ y$を整数とする．$x+y+xy$が偶数ならば$x,\ y$はともに偶数であることを示せ．
(2)$a,\ b$を正の実数とする．実数$x$に対し次の命題が成り立つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
\[ |x-a|<b \Longrightarrow |x-b|<a \]
(3)$0 \leqq x<2\pi$のとき，$\sin 2x>\cos x$となる$x$の範囲を求めよ．