$p$を素数とするとき，以下の命題を証明しなさい．

(1)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば，$a$は$p$の倍数である．
(2)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば，$a,\ b,\ c$はどれも$p$の倍数である．
(3)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば，$a=b=c=0$である．
(4)$x,\ y,\ z$を有理数とするとき，$x^3+py^3+p^2z^3-p^3xyz=0$ならば，$x=y=z=0$である．

以下の各問いに答えなさい．

(1)「実数」は，「実数」と「実数」に$3$つの演算（加法・減法・乗法）を行った場合，再び「実数」になる．同じように，同じ数の分類同士で$3$つの演算を行った結果が，再びその分類になるものを以下のなかからすべて選びなさい．

有理数，自然数，整数

(2)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$についてその式を因数分解した式を答えなさい．

(i) $18x^2+9x-5$
(ii) $x^3+125$

(3)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$の不等式の解を答えなさい．

(i) $|x+2|<5$
(ii) $|x+3|<2x+1$

(4)次の命題の対偶となる命題を答えなさい．

「$n+1$が偶数ならば，$n$は奇数」

次の各問に答えよ．なお，整数$a,\ b,\ c$について，$a=bc$と表されるとき，$a$は$b$の倍数であるという．

(1)$x$は実数とする．不等式$x^4-x^2-20<0$を解け．
(2)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

$m$は奇数$\Longrightarrow m^4-m^2-20$は$4$の倍数

(3)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

$m^4-m^2-20$は$4$の倍数$\Longrightarrow m$は奇数

$\kagiichi$ \ 条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$の否定をそれぞれ$\overline{p_1},\ \overline{p_2},\ \overline{q_1},\ \overline{q_2}$と書く．

(1)次の$[ア]$に当てはまるものを，下の$\nagamarurei$～$\nagamarusan$のうちから一つ選べ．

命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$q_1$かつ$q_2$）」の対偶は$[ア]$である．

$\nagamarurei$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$）
$\nagamaruichi$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$）
$\nagamaruni$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$）
$\nagamarusan$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$）
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める．
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$q_2$）」
の反例となる．
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする．

このとき，$\mathrm{AC}=[オ]$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり，
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である．

直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角，となるようにとる．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし，$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると，$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である．

以下の命題$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれに対し，その真偽を述べよ．また，真ならば証明を与え，偽ならば反例を与えよ．

命題$\mathrm{A}$ \quad $n$が正の整数ならば，$\displaystyle \frac{n^3}{26}+100 \geqq n^2$が成り立つ．
命題$\mathrm{B}$ \quad 整数$n,\ m,\ \ell$が$5n+5m+3 \ell=1$をみたすならば，$10nm+3m \ell+3n \ell<0$が成り立つ．

命題「$x+y \geqq 3 \Longrightarrow x \geqq 1 \text{または} y \geqq 2$」について，次の問いに答えよ．ただし，$x,\ y$は実数とする．

(1)命題の真偽を例にならい述べよ．偽の場合には反例をあげよ．
(2)命題の逆，裏，対偶を述べ，それらの真偽も述べよ．$(1)$と同様に，偽の場合には反例をあげよ．
\mon[（例）] 命題：「$-1<x<2 \Longrightarrow x<1$」，真偽：真
命題：「$x<1 \Longrightarrow -1<x<2$」，真偽：偽（反例：$x=-1$）

命題「$\displaystyle 2 |x-\displaystyle\frac{1|{2}}-x>0$ならば$x>1$」について，次の問いに答えよ．

(1)逆を述べよ．
(2)逆の真偽を真か偽で答えよ．
(3)裏を述べよ．
(4)裏の真偽を真か偽で答えよ．
(5)対偶を述べよ．
(6)対偶の真偽を真か偽で答えよ．

次の各問に答えよ．

(1)$f(x)=|2x+3|$のとき$f(-3)+f(0)+f(3)$の値を求めよ．
(2)方程式$\log_2 (x-1)+\log_2 (x+2)=2$を解け．
(3)$\left\{ \begin{array}{l}
\sin x+\cos y=1 \\
\cos x+\sin y=\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right.$のとき$\sin (x+y)$の値を求めよ．
(4)$a,\ b,\ x$を実数とする．命題
\[ x^2-(a+b)x+ab \leqq 0 \Longrightarrow x^2<2x+3 \]
が真となるような定数$a,\ b$の満たすべき条件を求めよ．ただし，$a \leqq b$とする．
(5)$a$を定数とし，関数$y=f(x)$は$x=a$で微分可能であるとする．このとき，極限値
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a-2h)}{h} \]
を$f^\prime(a)$を用いて表せ．
(6)関数$f(x)=\log | \cos x |$の導関数を求めよ．
(7)$2$つの曲線$y=\log x$と$y=ax^2$とがただ$1$つの共有点をもつような正の定数$a$の値を求めよ．
(8)等式$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x^2+a}-x-1}{(x-1)^2}=b$が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．

$n$を正の整数とする．次の命題を証明せよ．

(1)$n^2$が奇数ならば，$n$は奇数である．
(2)$n^3$が$5$で割り切れるならば，$n$は$5$で割り切れる．

次の各問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．