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山梨大学 国立 山梨大学 2012年 第1問
次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を答えよ.

(1)関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは,すべての$x$で等式$[ ]$が成立することである.関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$[ ]$である.
(2)実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき,無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は,$x$の値が$[ ]$以外のときであり,収束するときの無限級数の和は$[ ]$である.
(3)$\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=[ ]$であり,$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=[ ]$である.
(4)楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち,$y$座標が大きい方の座標は$[ ]$である.この楕円の長軸の長さは$[ ]$である.
(5)関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし,区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を,$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$,$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$,$\cdots$,$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする.各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる.$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において,長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき,この小区間での長方形の面積は$[ ]$となり,それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする.また,$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において,長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする.このとき,$S_n-s_n$は$[ ]$となる.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2011年 第4問
$f(x)$は数直線上の連続関数で,次の条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$をみたすものとする.

$(ⅰ)$ $f(x)$は周期1の周期関数,すなわち,すべての$x$で$f(x+1)=f(x)$が成り立つ.
$(ⅱ)$ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=0$

次の各問いに答えよ.

(1)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$をみたす恒等的に$0$でない連続関数$f(x)$の例を$1$つ挙げよ.
(2)$\displaystyle F(x)=\int_0^x f(y) \, dy$とおくと,$F(x)$も周期$1$の周期関数であることを示せ.
(3)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,$\displaystyle \frac{d}{dx}F(nx)$を$f$を用いて表せ.
(4)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_0^1 xf(nx) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める.$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$を示せ.
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