曲線$C:y=\log x \ (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．

(1)不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$を求めよ．
(2)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．

曲線$C:y=\log x \ (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．

(1)不定積分$\displaystyle \int \log x \, dx$を求めよ．
(2)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．

媒介変数$t$を用いて$x=t^2,\ y=t^3$と表される曲線を$C$とする．ただし，$t$は実数全体を動くとする．また，実数$a \ (a \neq 0)$に対して，点$(a^2,\ a^3)$における$C$の接線を$\ell_a$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_a$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる．
(3)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

媒介変数$t$を用いて$x=t^2,\ y=t^3$と表される曲線を$C$とする．ただし，$t$は実数全体を動くとする．また，実数$a \ (a \neq 0)$に対して，点$(a^2,\ a^3)$における$C$の接線を$\ell_a$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_a$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる．
(3)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

円卓の周りに並べられた$n$席の座席に$m$人の人が座るとき，どの二人も隣り合わない確率を$P(n,\ m)$とする．ただし$\displaystyle 2 \leqq m \leqq \frac{n}{2}$とし，どの空席も同じ確率で選ぶものとする．

(1)$P(n,\ 2)$を$n$を用いて表せ．
(2)$P(n,\ m)$を$n,\ m$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{m \to \infty}P(m^2,\ m)$を求めよ．

次の各設問の$[1]$から$[8]$までの空欄と$[　]$に適当な答えを入れよ．

(1)箱の中に，$1$と書かれたカードが$4$枚．$2$と書かれたカードが$3$枚，$3$と書かれたカードが$2$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚ある．箱から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問いに答えよ．

(i) $1$と書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる確率は$[1]$である．
(ii) $3$枚のカードに書かれた数字の和が$5$となる確率は$[2]$である．

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において次が成り立つとき，以下の問いに答えよ．
\[ \sin A:\sin B:\sin C = 13:8:7 \]

(i) $\cos A=[3]$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径が$13$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．ただし，分母を有理化して答えよ．

(3)$\triangle \mathrm{OAB}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が次の条件を満たすとき．点$\mathrm{P}$が動く部分の面積を求めよ．ただし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$1$とする．

(i) $\displaystyle \frac{1}{2} \leqq s+t \leqq 1,\ 0 \leqq s,\ 0 \leqq t$のとき$[4]$．
(ii) $t \leqq s,\ s \leqq 3,\ 0 \leqq t$のとき$[5]$．

(4)$\displaystyle 81^{-x}-\frac{1}{2}\cdot 3^{-2x+2}+2=0$を満たす最大の$x$は$\log_9 [6]$である．
(5)ある星$\mathrm{O}$を中心として同一方向に円軌道を描きながら回っている星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$がある．ただし，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$の円軌道は同一平面上にあると仮定する．星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{O}$との距離は$0.9$億$\mathrm{km}$で，星$\mathrm{B}$と星$\mathrm{O}$との距離は$1.5$億$\mathrm{km}$である．星$\mathrm{A}$は星$\mathrm{O}$の周りを一周するのに$240$日かかり，星$\mathrm{B}$は$360$日かかる．現在，星$\mathrm{A}$が星$\mathrm{B}$より回転方向に$90^{\circ}$進んだ位置にあるとするとき，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離が最初に最大になるのは，今から$[7]$日後である．また，$60$日後の星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離は$[8]$億$\mathrm{km}$である．

点$\mathrm{P}$を直線$\ell_1:y=x$上の点とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ$(-1,\ 0)$，$(0,\ 1)$とする．$\mathrm{P}$を通り$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とする．また，$\ell_2$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$とする．

(1)$\ell_2$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．四角形$\mathrm{OPQR}$を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$a$を用いて表せ．

$a$は実数で$0 < a < 1$とする．座標平面上の第$1$象限にある曲線$\displaystyle y =\frac{1}{x}$と$2$直線$y = x,\ y = ax$で囲まれる部分$P(a)$の面積を$S(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 2S(\frac{1}{e}) \leqq S(a) \leqq 2S(\frac{1}{e})+1$となる$a$の範囲を求めよ．
(3)$P(a)$を$x$軸の周りに回転して得られる回転体の体積$V(a)$と$\displaystyle \lim_{a \to 0} V(a)$を求めよ．

曲線$C:y=e^x$上の点P$(t,\ e^t)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点をQとする．さらに，Qを通り$\ell$に直交する直線と$C$との交点をRとする．以下の問いに答えよ．

(1)点Qの$x$座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\triangle$PQRの外心が$y$軸上にあるときの$t$の値を求めよ．
(3)$t$を(2)で求めた値とするとき，直線PQ，QRと$C$とで囲まれる部分を$x$軸の周りに1回転して得られる回転体の体積を求めよ．

$A,\ A^\prime$をそれぞれ座標平面上の点$(\alpha \cos \theta,\ \alpha \sin \theta)$，$(-\alpha \cos \theta,\ -\alpha \sin \theta)$とし，$f$を行列
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & r \cos \theta
\end{array} \biggr) \]
の表す1次変換とする．$\displaystyle \alpha= \left( \frac{45}{4} \right)^{\frac{1}{6}},\ r=\left( \frac{10}{3} \right)^{\frac{1}{6}},\ \theta=\frac{\pi}{6}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)2点A，A$^{\prime}$の逆変換$f^{-1}$による像を焦点とし，焦点からの距離の差が2に等しい双曲線$C_1$の方程式を求めなさい．
(2)2点A，A$^\prime$の合成関数$f \circ f$による像を焦点とし，直線$x+2y=0$を漸近線にもつ双曲線$C_2$の方程式を求めなさい．
(3)双曲線$C_1$と$C_2$により囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めなさい．