以下の各問いに答えなさい．

(1)以下のうちで有理数となるものをすべて選びなさい．
\[ 1,\quad 0.333 \cdots,\quad 4 \pi,\quad \sqrt{2},\quad \sqrt{9} \]
(2)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$についてその式を因数分解した式を答えなさい．

(i) $20x^2+23x+6$
(ii) $x^4+x^2+1$

(3)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$の連立不等式の解を答えなさい．


(i) $\left\{ \begin{array}{l}
5x-10>3x-4 \\
7x-3 \leqq 4x+12
\end{array} \right.$

(ii) $\left\{ \begin{array}{l}
4 \leqq 3x-10 \\
7x \leqq 5(4x+1)
\end{array} \right.$


(4)以下の条件の否定を答えなさい．

「 $a>1$ \quad または \quad $b \leqq 2$ 」

$\kagiichi$ \ 条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$の否定をそれぞれ$\overline{p_1},\ \overline{p_2},\ \overline{q_1},\ \overline{q_2}$と書く．

(1)次の$[ア]$に当てはまるものを，下の$\nagamarurei$～$\nagamarusan$のうちから一つ選べ．

命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$q_1$かつ$q_2$）」の対偶は$[ア]$である．

$\nagamarurei$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$）
$\nagamaruichi$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$）
$\nagamaruni$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$）
$\nagamarusan$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$）
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める．
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$q_2$）」
の反例となる．
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする．

このとき，$\mathrm{AC}=[オ]$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり，
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である．

直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角，となるようにとる．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし，$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると，$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である．

赤いカードと青いカードが$10$枚ずつあり，それぞれ$0$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれている．これら$20$枚から数枚を選ぶときの選び方に関する次の条件$P$を考える．

$P$：選んだカードのうち，赤いカードに書かれた数字はすべて偶数である．

(1)$P$であるための必要十分条件を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，$Z$をマークせよ．
(2)$P$の否定を下の選択肢からすべて選べ．ただし，選択肢に正解がない場合は，$Z$をマークせよ．
選択肢：
\mon[$\mathrm{A}$] 選んだカードのうち，青いカードに書かれた数字はすべて奇数である．
\mon[$\mathrm{B}$] 選んだカードのうち，奇数が書かれたカードはすべて青い．
\mon[$\mathrm{C}$] 選んだカードのうち，偶数が書かれたカードはすべて赤い．
\mon[$\mathrm{D}$] 選んだカードのうちに，偶数が書かれた青いカードが存在する．
\mon[$\mathrm{E}$] 選んだカードのうちに，奇数が書かれた赤いカードが存在する．
\mon[$\mathrm{F}$] 選んだカードのうちに，偶数が書かれた青いカードは存在しない．
\mon[$\mathrm{G}$] 選んだカードのうちに，奇数が書かれた赤いカードは存在しない．

次の問いに答えなさい．

(1)実数$a,\ b$に関する条件「$a>2$かつ$b \leqq 1$」の否定であるものを次のア～エのうちからひとつ選び，その記号を$[$\mathrm{A]$}$に書きなさい．ただし，該当するものがない場合は「該当なし」と書きなさい．

ア：「$a>2$または$b \leqq 1$」 \qquad イ：「$a \leqq 2$または$b>1$」
ウ：「$a<2$または$b \geqq 1$」 \qquad エ：「$a \leqq 2$かつ$b>1$」

(2)$x$についての整式$P(x)=x^3+kx^2+x+2$を$x-3$で割った余りが$k$となるような定数$k$の値は$k=[$\mathrm{B]$}$である．
(3)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$で，$\tan \alpha=3$のとき，$\displaystyle \sin \left( 2 \alpha +\frac{\pi}{3} \right)$の値を$c$とすると，$c=[$\mathrm{C]$}$である．
(4)正の実数$x,\ y$が，$x^2+4y=1$を満たすとき，$2 \log_2 x+\log_2 y$のとり得る値の最大値を$d$とすると，$d=[$\mathrm{D]$}$である．
(5)$t$を実数とする．平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が，$|\overrightarrow{a}|=7$，$|\overrightarrow{b}|=6$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=9$であるとき，$|(1-2t) \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|$を最小にする$t$の値を$[あ]$で求めなさい．

以下の問に答えよ．

(1)$(2x-1)^7$を展開したときの負の係数の中で，その値が最も小さい項の次数を述べよ．
(2)次の命題の否定を述べ，その真偽を調べよ．偽の場合には反例をあげよ．
「すべての実数$x,\ y$について，$x^2+y^2-2xy+2x-2y+1>0$である」

$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定は何か．
(2)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定の条件を満たす$n$のうち，小さい方から$4$番目の値を求めよ．
(3)$20$以下の自然数$n$の中で，次の個数を求めよ．「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」

$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定は何か．
(2)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定の条件を満たす$n$のうち，小さい方から$4$番目の値を求めよ．
(3)$20$以下の自然数$n$の中で，次の個数を求めよ．「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」

日本全国から$6$つの市を選ぶ．その$6$つの市に関する条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$を考える．

\mon[$(\mathrm{A})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市が存在する．
\mon[$(\mathrm{B})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市がただ$1$つ存在する．
\mon[$(\mathrm{C})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市が$2$つ以上存在する．
\mon[$(\mathrm{D})$] $6$つの市の人口はすべて$10$万人以上である．
\mon[$(\mathrm{E})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人未満の市が存在する．
\mon[$(\mathrm{F})$] $6$つの市の人口はすべて$10$万人未満である．
\mon[$(\mathrm{G})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市と人口$10$万人未満の市が存在する．


(1)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中で，互いに否定条件となるすべての組を以下の選択肢から選べ．もし互いに否定条件となる組で選択肢にないものが存在するときは，$z$もマークせよ．

選択肢：
1. (A)と(E) \qquad 2. (A)と(F) \qquad 3. (B)と(C)
4. (B)と(E) \qquad 5. (B)と(F) \qquad 6. (B)と(G)
7. (D)と(E) \qquad 8. (D)と(F) \qquad 9. (D)と(G)
10. (E)と(F) \qquad 11. (E)と(G) \qquad 12. (F)と(G)

(2)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中から，$(\mathrm{A})$であるための十分条件となる，$(\mathrm{A})$以外の条件をすべて選べ．
(3)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中から，$(\mathrm{E})$であるための十分条件となる，$(\mathrm{E})$以外の条件をすべて選べ．
(4)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中から，$(\mathrm{B})$であるための必要条件となる，$(\mathrm{B})$以外の条件をすべて選べ．
(5)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中から，$(\mathrm{D})$であるための必要条件となる，$(\mathrm{D})$以外の条件をすべて選べ．