$a$を実数（ただし，$a$は$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$にも，$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}}$にも等しくない）とする．$a_1=a$とし，数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上の点$\displaystyle \mathrm{P}_n \left( a_n,\ \frac{1}{2} a_n^2 \right)$における$C$の接線を$\ell_n$とする．点$\displaystyle \mathrm{P}_{n+1} \left( a_{n+1},\ \frac{1}{2} a_{n+1}^2 \right)$における$C$の接線$\ell_{n+1}$の傾きは，$\mathrm{P}_n$を中心として$\ell_n$を正の向きに$60^\circ$回転した直線の傾きに等しい．

(1)$a_2$を$a$の式で表せ．
(2)$a_3$を$a$の式で表せ．
(3)$a_4$を$a$の式で表せ．
(4)$a_{14}$を$a$の式で表せ．

原点をOとする座標平面上に2点P$(a,\ c)$およびQ$(b,\ d)$をとり，$\triangle$OPQを考える．線分OPが$x$軸の正の部分となす角を$\theta$とする．ただし，$\theta$は時計の針の回転と逆の向きを正とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\sin \theta$と$\cos \theta$を$a,\ c$の式で表せ．
(2)点Qを原点の周りに$-\theta$だけ回転させた点を$(x,\ y)$とするとき，$x,\ y$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(3)$\triangle$OPQの面積を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(4)一次変換
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
\sqrt{2}+\sqrt{5} & 3 \\
1 & \sqrt{2}-\sqrt{5}
\end{array} \biggr) \]
によって，点P，Qがそれぞれ点P$^\prime$，Q$^\prime$に移されるものとする．$\triangle$OP$^\prime$Q$^\prime$の面積は$\triangle$OPQの何倍か．

数直線上の原点に点Aがある．点Aは次の規則に従って数直線上を正の向きに動いていく．\\
『Aが座標$k$の位置にあるとき数直線上の正の向きに1進む確率が$\displaystyle \frac{1}{k+1}$，正の向きに2進む確率が$\displaystyle \frac{k}{k+1}$である．』\\
点Aが座標$n$の位置に立ち寄る確率を$p_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$p_3$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$で表せ．
(3)$p_n$を求めよ．

座標平面上を動く点$\mathrm{P}$が，はじめ原点$\mathrm{O}$にある．コインを投げて表が出たときには$\mathrm{P}$は$x$軸の正の向きに$1$進み，裏が出たときには$\mathrm{P}$は$y$軸の正の向きに$1$進むとする．以下の問いに答えよ．

(1)コインを2回投げた結果，$\mathrm{P}$が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)コインを4回投げた結果，$\mathrm{P}$が$(2,\ 2)$にある確率を求めよ．
(3)コインを3回投げた後の2点$\mathrm{O},\ \mathrm{P}$間の距離$\mathrm{OP}$の期待値を求めよ．
(4)コインを7回投げた結果，距離$\mathrm{OP}=5$となる確率を求めよ．