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公立 北九州市立大学 2014年 第1問以下の問いの空欄$[ア]$～$[ス]$に適する数値，式などを記せ．
(1)直線$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{3}}+1$と$x$軸の正の向きとのなす角は$[ア]$であり，この直線と放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$の共有点の座標は$([イ],\ [ウ])$と$([エ],\ [オ])$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{9}=\frac{\sin B}{7}=\frac{\sin C}{5}$が成り立つとき，この三角形の最も大きい角の余弦の値は$[カ]$である．この三角形の最も大きい辺の長さを$9$とすると，三角形の面積は$[キ]$である．
(3)同じ$2$つの箱と，同じ$4$つの球がある．$2$つの箱にすべての球を分配するときの組み合わせは$[ク]$通りである．また，大小の$2$つの箱と，$1$から$4$までの数が書かれた$4$つの球があるとき，すべての球を分配するときの組み合わせは$[ケ]$通りである．ただし，片方の箱のみに球が入っている場合も含む．
(4)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}},\ y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$のとき，$x^2+y^2$の値は$[コ]$，$x^3-y^3$の値は$[サ]$となる．
(5)大小の$2$個のさいころを投げ，出た目が同じ場合は$10$点，大のさいころの目のほうが大きい場合は$5$点，それ以外の場合には得点は得られないとするとき，点数を得られる目が出る確率は$[シ]$で，得点の期待値は$[ス]$点である．
(1)直線$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{3}}+1$と$x$軸の正の向きとのなす角は$[ア]$であり，この直線と放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$の共有点の座標は$([イ],\ [ウ])$と$([エ],\ [オ])$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{9}=\frac{\sin B}{7}=\frac{\sin C}{5}$が成り立つとき，この三角形の最も大きい角の余弦の値は$[カ]$である．この三角形の最も大きい辺の長さを$9$とすると，三角形の面積は$[キ]$である．
(3)同じ$2$つの箱と，同じ$4$つの球がある．$2$つの箱にすべての球を分配するときの組み合わせは$[ク]$通りである．また，大小の$2$つの箱と，$1$から$4$までの数が書かれた$4$つの球があるとき，すべての球を分配するときの組み合わせは$[ケ]$通りである．ただし，片方の箱のみに球が入っている場合も含む．
(4)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}},\ y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$のとき，$x^2+y^2$の値は$[コ]$，$x^3-y^3$の値は$[サ]$となる．
(5)大小の$2$個のさいころを投げ，出た目が同じ場合は$10$点，大のさいころの目のほうが大きい場合は$5$点，それ以外の場合には得点は得られないとするとき，点数を得られる目が出る確率は$[シ]$で，得点の期待値は$[ス]$点である．
国立 福井大学 2013年 第3問さいころの目によって$x$軸上を移動する点$\mathrm{Q}$を考える．さいころを$1$回投げて$5$または$6$の目が出れば$\mathrm{Q}$は$x$軸上を正の向きに$1$だけ移動し，その他の目が出れば$\mathrm{Q}$は$x$軸上を負の向きに$1$だけ移動する．最初，$\mathrm{Q}$は$x$軸上の原点にあり，さいころを$n$回投げて$\mathrm{Q}$が$n$回移動したときの$\mathrm{Q}$の$x$座標を$X_n$とおく．整数$k$に対し，$X_n=k$となる確率を$p(n,\ k)$と表すとき，以下の問いに答えよ．
(1)$p(3,\ 3)$，$p(3,\ 2)$，$p(3,\ 1)$，$p(3,\ 0)$の値を求めよ．
(2)$X_3$の期待値$E$を求めよ．
(3)$p(n,\ 0)$を$n$を用いて表せ．
(1)$p(3,\ 3)$，$p(3,\ 2)$，$p(3,\ 1)$，$p(3,\ 0)$の値を求めよ．
(2)$X_3$の期待値$E$を求めよ．
(3)$p(n,\ 0)$を$n$を用いて表せ．
国立 秋田大学 2013年 第3問空間内の点$\mathrm{P}(1,\ -1,\ -2)$を出発して，$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$で向きを変えてもとの点$\mathrm{P}$に戻る折れ線$\mathrm{PQRSP}$を，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(-2,\ 4,\ 5)$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{\mathrm{RS}}=(-3,\ -4,\ -2)$となるように定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)平面上の点$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$，$\mathrm{S}^\prime$を，それぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の$x,\ y$座標を取り出して得られる点とする．例えば，点$\mathrm{P}^\prime$の座標は$(1,\ -1)$となる．このとき，平面上の線分$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime$と線分$\mathrm{R}^\prime \mathrm{S}^\prime$の交点$\mathrm{M}^\prime$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$上の点$\mathrm{M}_1$と線分$\mathrm{RS}$上の点$\mathrm{M}_2$を，$\mathrm{M}_1$の$x,\ y$座標が$\mathrm{M}_2$の$x,\ y$座標とそれぞれ等しくなる点とする．$2$点$\mathrm{M}_1$，$\mathrm{M}_2$間の距離を求めよ．
(4)空間内の点$\mathrm{X}$が，点$\mathrm{Q}$を出発して点$\mathrm{P}$まで，$\mathrm{Q} \to \mathrm{R} \to \mathrm{S} \to \mathrm{P}$の順に折れ線上を動く．点$\mathrm{X}$から直線$\mathrm{PQ}$上に垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と同じ向きに動いた距離の総和と，逆の向きに動いた距離の総和を，それぞれ求めよ．
(1)点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)平面上の点$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$，$\mathrm{S}^\prime$を，それぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の$x,\ y$座標を取り出して得られる点とする．例えば，点$\mathrm{P}^\prime$の座標は$(1,\ -1)$となる．このとき，平面上の線分$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime$と線分$\mathrm{R}^\prime \mathrm{S}^\prime$の交点$\mathrm{M}^\prime$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$上の点$\mathrm{M}_1$と線分$\mathrm{RS}$上の点$\mathrm{M}_2$を，$\mathrm{M}_1$の$x,\ y$座標が$\mathrm{M}_2$の$x,\ y$座標とそれぞれ等しくなる点とする．$2$点$\mathrm{M}_1$，$\mathrm{M}_2$間の距離を求めよ．
(4)空間内の点$\mathrm{X}$が，点$\mathrm{Q}$を出発して点$\mathrm{P}$まで，$\mathrm{Q} \to \mathrm{R} \to \mathrm{S} \to \mathrm{P}$の順に折れ線上を動く．点$\mathrm{X}$から直線$\mathrm{PQ}$上に垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と同じ向きに動いた距離の総和と，逆の向きに動いた距離の総和を，それぞれ求めよ．
国立 山口大学 2013年 第4問原点を出発点として数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．次のような試行を考える．さいころを$1$回投げて，$5$以上の目が出たときは点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ進め，$4$以下の目が出たときは負の向きに$2$だけ進める．このような試行について，次の問いに答えなさい．
(1)この試行を$3$回行うとき，点$\mathrm{P}$が原点の位置にくる確率を求めなさい．
(2)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目に原点の位置にくる確率を求めなさい．
(3)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目のみ原点の位置にくる確率を求めなさい．
(1)この試行を$3$回行うとき，点$\mathrm{P}$が原点の位置にくる確率を求めなさい．
(2)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目に原点の位置にくる確率を求めなさい．
(3)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目のみ原点の位置にくる確率を求めなさい．
国立 山口大学 2013年 第4問原点を出発点として数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．次のような試行を考える．さいころを$1$回投げて，$5$以上の目が出たときは点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ進め，$4$以下の目が出たときは負の向きに$2$だけ進める．このような試行について，次の問いに答えなさい．
(1)この試行を$3$回行うとき，点$\mathrm{P}$が原点の位置にくる確率を求めなさい．
(2)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目に原点の位置にくる確率を求めなさい．
(3)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目のみ原点の位置にくる確率を求めなさい．
(1)この試行を$3$回行うとき，点$\mathrm{P}$が原点の位置にくる確率を求めなさい．
(2)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目に原点の位置にくる確率を求めなさい．
(3)この試行を$9$回行うとき，点$\mathrm{P}$が$3$回目と$9$回目のみ原点の位置にくる確率を求めなさい．
国立 宮崎大学 2013年 第2問$0<r<1$を満たす実数$r$について，座標平面上に，$2$点$\mathrm{P}_1(1,\ 0)$と$\mathrm{P}_2(1,\ r)$がある．これらから点$\mathrm{P}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1}) \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を次の規則に従って定める．
点$\mathrm{P}_{n-1}$から点$\mathrm{P}_n$に向かう方向を時計の針の回転と逆の向きに${90}^\circ$回転し，その方向に点$\mathrm{P}_n$から距離$r^n$だけ進んだ点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_4,\ \mathrm{P}_8$の座標を，$r$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle x=\lim_{m \to \infty}x_{4m}$，$\displaystyle y=\lim_{m \to \infty}y_{4m}$とするとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の座標を，$r$を用いて表せ．
(3)実数$r$が$0<r<1$の範囲を動くとき，$(2)$の点$\mathrm{P}$の軌跡を座標平面上に図示せよ．
点$\mathrm{P}_{n-1}$から点$\mathrm{P}_n$に向かう方向を時計の針の回転と逆の向きに${90}^\circ$回転し，その方向に点$\mathrm{P}_n$から距離$r^n$だけ進んだ点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_4,\ \mathrm{P}_8$の座標を，$r$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle x=\lim_{m \to \infty}x_{4m}$，$\displaystyle y=\lim_{m \to \infty}y_{4m}$とするとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の座標を，$r$を用いて表せ．
(3)実数$r$が$0<r<1$の範囲を動くとき，$(2)$の点$\mathrm{P}$の軌跡を座標平面上に図示せよ．
国立 宮崎大学 2013年 第5問最初，数直線上の原点に点$\mathrm{P}$を置き，コインを$1$回投げるごとに以下のように点$\mathrm{P}$の位置を定める．
\mon[$①$] 点$\mathrm{P}$の座標が$-2$以上$3$以下のとき，コインの表が出れば正の向きに$1$だけ点$\mathrm{P}$を進め，裏が出れば負の向きに$1$だけ点$\mathrm{P}$を進める．
\mon[$②$] 点$\mathrm{P}$の座標が$-3$または$4$のとき，コインの表裏にかかわらず点$\mathrm{P}$を動かさない．
コインを投げて$①,\ ②$に従い点$\mathrm{P}$の位置を定める操作を$6$回行う．この$6$回の操作によって定めた点$\mathrm{P}$の最終的な位置の座標を$a$とする．ただし，コインの表と裏が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$a=-3$となる確率と$a=4$となる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$a$の期待値を求めよ．
\mon[$①$] 点$\mathrm{P}$の座標が$-2$以上$3$以下のとき，コインの表が出れば正の向きに$1$だけ点$\mathrm{P}$を進め，裏が出れば負の向きに$1$だけ点$\mathrm{P}$を進める．
\mon[$②$] 点$\mathrm{P}$の座標が$-3$または$4$のとき，コインの表裏にかかわらず点$\mathrm{P}$を動かさない．
コインを投げて$①,\ ②$に従い点$\mathrm{P}$の位置を定める操作を$6$回行う．この$6$回の操作によって定めた点$\mathrm{P}$の最終的な位置の座標を$a$とする．ただし，コインの表と裏が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$a=-3$となる確率と$a=4$となる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$a$の期待値を求めよ．
国立 宮崎大学 2013年 第4問$0<r<1$を満たす実数$r$について，座標平面上に，$2$点$\mathrm{P}_1(1,\ 0)$と$\mathrm{P}_2(1,\ r)$がある．これらから点$\mathrm{P}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1}) \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を次の規則に従って定める．
点$\mathrm{P}_{n-1}$から点$\mathrm{P}_n$に向かう方向を時計の針の回転と逆の向きに${90}^\circ$回転し，その方向に点$\mathrm{P}_n$から距離$r^n$だけ進んだ点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_4,\ \mathrm{P}_8$の座標を，$r$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle x=\lim_{m \to \infty}x_{4m}$，$\displaystyle y=\lim_{m \to \infty}y_{4m}$とするとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の座標を，$r$を用いて表せ．
(3)実数$r$が$0<r<1$の範囲を動くとき，$(2)$の点$\mathrm{P}$の軌跡を座標平面上に図示せよ．
点$\mathrm{P}_{n-1}$から点$\mathrm{P}_n$に向かう方向を時計の針の回転と逆の向きに${90}^\circ$回転し，その方向に点$\mathrm{P}_n$から距離$r^n$だけ進んだ点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_4,\ \mathrm{P}_8$の座標を，$r$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle x=\lim_{m \to \infty}x_{4m}$，$\displaystyle y=\lim_{m \to \infty}y_{4m}$とするとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の座標を，$r$を用いて表せ．
(3)実数$r$が$0<r<1$の範囲を動くとき，$(2)$の点$\mathrm{P}$の軌跡を座標平面上に図示せよ．
私立 福岡大学 2013年 第5問数直線上を動く点$\mathrm{P}$が初め原点にある．サイコロを投げて，$1$の目が出たら負の向きに$2$動かし，$2$の目のときは負の向きに$1$，また，$3$と$4$の目のときは動かさず，$5$の目のときは正の向きに$1$，そして$6$の目のときは正の向きに$2$動かすものとする．サイコロを$2$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の座標が$2$以上である確率は$[ ]$であり，また，サイコロを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にある確率は$[ ]$である．
私立 早稲田大学 2013年 第3問図のように点$\mathrm{O}$を中心とする円の円周を$12$等分する$12$個の点をとり，そのうちの$1$つを点$\mathrm{A}$とする．さらに点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が互いに異なるように選ぶ．ただし点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$はこの順に時計の針の回転と逆の向きに並ぶものとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{APQ}$が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{APQ}$が二等辺三角形になる確率を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{APQ}$の内部または周上にある確率を求めよ．
（図は省略）
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{APQ}$が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{APQ}$が二等辺三角形になる確率を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{APQ}$の内部または周上にある確率を求めよ．
（図は省略）