「向き」について
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国立 山形大学 2014年 第2問数直線上に点$\mathrm{P}$があり，最初は原点に位置している．点$\mathrm{P}$を次の試行にしたがって数直線上を動かす．
$(ⅰ)$ 赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．
$(ⅱ)$ 取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．
$(ⅲ)$ 取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．
$\tokeishi$ 取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(2)試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．
(4)試行を$n$回行うとき，点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にならず，ちょうど$n$回目に初めて$2$になる確率を求めよ．
$(ⅰ)$ 赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．
$(ⅱ)$ 取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．
$(ⅲ)$ 取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．
$\tokeishi$ 取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(2)試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．
(4)試行を$n$回行うとき，点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にならず，ちょうど$n$回目に初めて$2$になる確率を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第2問数直線上に点$\mathrm{P}$があり，最初は原点に位置している．点$\mathrm{P}$を次の試行にしたがって数直線上を動かす．
$(ⅰ)$ 赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．
$(ⅱ)$ 取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．
$(ⅲ)$ 取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．
$\tokeishi$ 取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(2)試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．
$(ⅰ)$ 赤い玉が$2$個，白い玉が$1$個入った袋から玉を$1$個取り出す．
$(ⅱ)$ 取り出した玉の色が赤ならば，点$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ動かす．
$(ⅲ)$ 取り出した玉の色が白ならば，点$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．
$\tokeishi$ 取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この試行を$2$回くりかえしたとき，点$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．
(2)試行の回数が$4$回以内で，点$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回行っても点$\mathrm{P}$の座標が$1$度も$-2$にも$2$にもならない確率を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2014年 第1問座標平面上に動点$\mathrm{P}$が初め原点$(0,\ 0)$にある．$1$つのさいころをくり返し投げて，その出た目に応じて，以下のように$\mathrm{P}$を動かしていく．
(i) さいころの出た目が$1,\ 3,\ 5$であれば，$\mathrm{P}$は$x$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(ii) 出た目が$2,\ 4$であれば，$\mathrm{P}$は$y$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(iii) 出た目が$6$であれば，$\mathrm{P}$は直線$y=x$に関して対称な点に動く．
以下の問いに答えよ．
(1)さいころを$2$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(1,\ 0)$に動く確率を求めよ．
(2)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(2,\ 3)$に動く確率を求めよ．
(3)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が直線$x=4$上の点に動く確率を求めよ．
(i) さいころの出た目が$1,\ 3,\ 5$であれば，$\mathrm{P}$は$x$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(ii) 出た目が$2,\ 4$であれば，$\mathrm{P}$は$y$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(iii) 出た目が$6$であれば，$\mathrm{P}$は直線$y=x$に関して対称な点に動く．
以下の問いに答えよ．
(1)さいころを$2$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(1,\ 0)$に動く確率を求めよ．
(2)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(2,\ 3)$に動く確率を求めよ．
(3)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が直線$x=4$上の点に動く確率を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2014年 第1問座標平面上に動点$\mathrm{P}$が初め原点$(0,\ 0)$にある．$1$つのさいころをくり返し投げて，その出た目に応じて，以下のように$\mathrm{P}$を動かしていく．
(i) さいころの出た目が$1,\ 3,\ 5$であれば，$\mathrm{P}$は$x$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(ii) 出た目が$2,\ 4$であれば，$\mathrm{P}$は$y$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(iii) 出た目が$6$であれば，$\mathrm{P}$は直線$y=x$に関して対称な点に動く．
以下の問いに答えよ．
(1)さいころを$2$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(1,\ 0)$に動く確率を求めよ．
(2)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(2,\ 3)$に動く確率を求めよ．
(3)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が直線$x=4$上の点に動く確率を求めよ．
(i) さいころの出た目が$1,\ 3,\ 5$であれば，$\mathrm{P}$は$x$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(ii) 出た目が$2,\ 4$であれば，$\mathrm{P}$は$y$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(iii) 出た目が$6$であれば，$\mathrm{P}$は直線$y=x$に関して対称な点に動く．
以下の問いに答えよ．
(1)さいころを$2$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(1,\ 0)$に動く確率を求めよ．
(2)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(2,\ 3)$に動く確率を求めよ．
(3)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が直線$x=4$上の点に動く確率を求めよ．
国立 秋田大学 2014年 第3問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上の点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．また，$C$上の点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{OQ}$と$x$軸の正の向きとのなす角が$\displaystyle \frac{\theta}{2}$となる点とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．
(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．
国立 秋田大学 2014年 第3問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上の点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．また，$C$上の点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{OQ}$と$x$軸の正の向きとのなす角が$\displaystyle \frac{\theta}{2}$となる点とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．
(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．
私立 日本女子大学 2014年 第3問座標平面上を動く点$\mathrm{P}$が原点$(0,\ 0)$を出発して，$1$枚の硬貨を投げて表が出たら$x$軸方向の正の向きに$1$だけ進み，裏が出たら$y$軸方向の正の向きに$1$だけ進むとき，次の問いに答えよ．
(1)硬貨を$4$回投げたとき，$\mathrm{P}$が点$(2,\ 2)$に到達する確率を求めよ．
(2)硬貨を$9$回投げたとき，$\mathrm{P}$が点$(5,\ 4)$に到達する確率を求めよ．
(3)硬貨を$9$回投げたとき，$\mathrm{P}$が点$(2,\ 2)$を通らずに，点$(5,\ 4)$に到達する確率を求めよ．
(1)硬貨を$4$回投げたとき，$\mathrm{P}$が点$(2,\ 2)$に到達する確率を求めよ．
(2)硬貨を$9$回投げたとき，$\mathrm{P}$が点$(5,\ 4)$に到達する確率を求めよ．
(3)硬貨を$9$回投げたとき，$\mathrm{P}$が点$(2,\ 2)$を通らずに，点$(5,\ 4)$に到達する確率を求めよ．
私立 同志社大学 2014年 第4問曲線$\displaystyle C_1:y=1-\frac{1}{2}x^2$上を動く点$\mathrm{P}$の座標を$(x_0,\ y_0)$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C_1$の法線上にあり，点$\mathrm{P}$からの距離が$1$の点で$\displaystyle y>1-\frac{1}{2}x^2$を満たす点を$\mathrm{Q}(x_1,\ y_1)$とする．また，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta (0<\theta<\pi)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \theta$を$x_0$を用いて表せ．
(2)$x_0$と$y_0$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．
(3)$x_1$と$y_1$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．また，$y_1=0$となるときの$\theta$の値を求めよ．
(4)曲線$C_1$上を点$\mathrm{P}$が動くとき，点$\mathrm{Q}$が描く曲線を$C_2$とする．曲線$C_2$と$x$軸が囲む図形の面積$S$を求めよ．
(1)$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \theta$を$x_0$を用いて表せ．
(2)$x_0$と$y_0$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．
(3)$x_1$と$y_1$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．また，$y_1=0$となるときの$\theta$の値を求めよ．
(4)曲線$C_1$上を点$\mathrm{P}$が動くとき，点$\mathrm{Q}$が描く曲線を$C_2$とする．曲線$C_2$と$x$軸が囲む図形の面積$S$を求めよ．
私立 獨協医科大学 2014年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$a$を正の定数とし，$x$についての$2$つの不等式
$\log_3 (x+2a)+\log_3 (x+3a)<\log_3 10ax \cdots\cdots①$
$\log_3 (3x-4)+\log_3 (3x+2)<2 \log_9 (6x-5)+1 \cdots\cdots②$
を考える．
$①$の解は
\[ [ア]a<x<[イ]a \]
である．
$②$の解は
\[ \frac{[ウ]}{[エ]}<x<\frac{[オ]}{[カ]} \]
である．
$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在するとき，$a$のとり得る値の範囲は
\[ \frac{[キ]}{[ク]}<a<\frac{[ケ]}{[コ]} \]
である．
(2)放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$としたとき，$p,\ q$は$q<p$を満たす整数で，$p>0$，$p+q$は正の偶数とする．
また，点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$\ell$，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とし，直線$\ell,\ m$が$x$軸の正の向きとなす角をそれぞれ$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$，$2$直線$\ell,\ m$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．
$p=5,\ q=1$のとき
\[ \tan \alpha=[サ],\quad \tan \beta=[シ] \]
であり
\[ \tan \theta=\frac{1}{[ス]} \]
である．
また，$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{7}$を満たす整数$p,\ q$の組$(p,\ q)$をすべてあげると，
\[ (p,\ q)=([セ],\ [ソ]),\ ([タチ],\ [ツテ]),\ ([トナ],\ [ニヌネ]) \]
である．ただし，$[セ]<[タチ]<[トナ]$とする．
(1)$a$を正の定数とし，$x$についての$2$つの不等式
$\log_3 (x+2a)+\log_3 (x+3a)<\log_3 10ax \cdots\cdots①$
$\log_3 (3x-4)+\log_3 (3x+2)<2 \log_9 (6x-5)+1 \cdots\cdots②$
を考える．
$①$の解は
\[ [ア]a<x<[イ]a \]
である．
$②$の解は
\[ \frac{[ウ]}{[エ]}<x<\frac{[オ]}{[カ]} \]
である．
$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在するとき，$a$のとり得る値の範囲は
\[ \frac{[キ]}{[ク]}<a<\frac{[ケ]}{[コ]} \]
である．
(2)放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$としたとき，$p,\ q$は$q<p$を満たす整数で，$p>0$，$p+q$は正の偶数とする．
また，点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$\ell$，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とし，直線$\ell,\ m$が$x$軸の正の向きとなす角をそれぞれ$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$，$2$直線$\ell,\ m$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．
$p=5,\ q=1$のとき
\[ \tan \alpha=[サ],\quad \tan \beta=[シ] \]
であり
\[ \tan \theta=\frac{1}{[ス]} \]
である．
また，$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{7}$を満たす整数$p,\ q$の組$(p,\ q)$をすべてあげると，
\[ (p,\ q)=([セ],\ [ソ]),\ ([タチ],\ [ツテ]),\ ([トナ],\ [ニヌネ]) \]
である．ただし，$[セ]<[タチ]<[トナ]$とする．
私立 武庫川女子大学 2014年 第2問次の空欄$[$19$]$～$[$42$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$19$]$，$[$21$]$には$+$または$-$の記号が入る．
(1)原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円と直線$y=-2x$との交点のうち，$y$座標が正となる点を$\mathrm{A}$とする．線分$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta (0^\circ<\theta<{180}^\circ)$とする．
(i) $\tan \theta=[$19$][$20$]$であり，
$\cos \theta=[$21$] \frac{\sqrt{[$22$]}}{[$23$]}$であり，
点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( -\sqrt{[$24$]},\ [$25$] \sqrt{[$26$]} \right)$である．
(i) 点$(3 \sqrt{5},\ 0)$を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{AB}=[$27$][$28$]$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[$29$] \sqrt{[$30$]}}{[$31$]}$である．
(2)下図のように半径$r$の扇形$\mathrm{ABC}$があり，$\angle \mathrm{CAB}={90}^\circ$とする．直線$\mathrm{CA}$の延長線上に点$\mathrm{D}$をとり，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ADB}=\frac{1}{5}$とする．この扇形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{ADB}$の両方からなる図形を直線$\mathrm{CD}$を軸として回転させてできる立体の表面積を$S$，体積を$V$とする．
(i) $\displaystyle r=\frac{3}{2}$のときの$S$は，$r=1$のときの$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}$倍であり，$V$は$r=1$のときの$\displaystyle \frac{[$34$][$35$]}{[$36$][$37$]}$倍である．
(ii) $r=1$のとき，$S=[$38$] \pi$であり，
$\displaystyle V=\frac{[$39$]}{[$40$]} \left( [$41$]+\sqrt{[$42$]} \right) \pi$である．
（図は省略）
(1)原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円と直線$y=-2x$との交点のうち，$y$座標が正となる点を$\mathrm{A}$とする．線分$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta (0^\circ<\theta<{180}^\circ)$とする．
(i) $\tan \theta=[$19$][$20$]$であり，
$\cos \theta=[$21$] \frac{\sqrt{[$22$]}}{[$23$]}$であり，
点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( -\sqrt{[$24$]},\ [$25$] \sqrt{[$26$]} \right)$である．
(i) 点$(3 \sqrt{5},\ 0)$を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{AB}=[$27$][$28$]$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[$29$] \sqrt{[$30$]}}{[$31$]}$である．
(2)下図のように半径$r$の扇形$\mathrm{ABC}$があり，$\angle \mathrm{CAB}={90}^\circ$とする．直線$\mathrm{CA}$の延長線上に点$\mathrm{D}$をとり，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ADB}=\frac{1}{5}$とする．この扇形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{ADB}$の両方からなる図形を直線$\mathrm{CD}$を軸として回転させてできる立体の表面積を$S$，体積を$V$とする．
(i) $\displaystyle r=\frac{3}{2}$のときの$S$は，$r=1$のときの$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}$倍であり，$V$は$r=1$のときの$\displaystyle \frac{[$34$][$35$]}{[$36$][$37$]}$倍である．
(ii) $r=1$のとき，$S=[$38$] \pi$であり，
$\displaystyle V=\frac{[$39$]}{[$40$]} \left( [$41$]+\sqrt{[$42$]} \right) \pi$である．
（図は省略）