$2$つのサイコロを投げたとき，その目の和を$S$とする．$3$つのサイコロを投げたとき，その目の和を$T$とする．ただし，$1$つのサイコロには，$1$から$6$までの目がかかれていて，その目の出方はどれも同様に確からしいものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$S$の値が$6$となる確率を求めよ．
(2)$T$の値が$6$となる確率を求めよ．
(3)$S$の値が$7$以上となる確率を求めよ．
(4)$T$の値が$7$以上となる確率を求めよ．

正$n$角形の頂点から同時に$3$点を選び，それらを頂点とする三角形を作る．ただし，どの$3$点が選ばれるかは同様に確からしいとする．

(1)$n=6$のとき，三角形が直角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(2)$n=8$のとき，三角形が鈍角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ム]}{[メ]}$である．
(3)$n$が偶数のとき，三角形が直角三角形となる確率は
\[ \frac{[モ]}{n+[ヤ]} \]
であり，三角形が鈍角三角形となる確率は
\[ \frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( \frac{n+[ラ]}{n+[リ]} \right) \]
である．
(4)$n$が$6$の倍数のとき，三角形が正三角形以外の二等辺三角形となる確率は
\[ \frac{[ル](n+[レ])}{(n+[ロ])(n+[ワ])} \]
である．ただし，$[ロ]>[ワ]$とする．

右図のように平面上に正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．時刻$n$ \\
$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$において動点$\mathrm{P}$は正六角形の$6$つの頂点 \\
のいずれかにあり，時刻$1$では頂点$\mathrm{A}$にあるものとする． \\
時刻$n+1$には，時刻$n$のときにあった頂点の隣り合う$2$つの \\
頂点のいずれかに移動する．どちらの頂点に移動するかは \\
同様に確からしいものとする．時刻$n$において，動点$\mathrm{P}$が頂点 \\
$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$にある確率をそれぞれ \\
$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n,\ e_n,\ f_n$とする．以下の問いに答えよ．
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(1)$a_2,\ b_2,\ c_2,\ d_2,\ e_2,\ f_2$を求めよ．
(2)$a_3,\ b_3,\ c_3,\ d_3,\ e_3,\ f_3$を求めよ．
(3)$n$が偶数のとき，$b_n+d_n+f_n$を求めよ．
(4)すべての時刻$n$に対して，$b_n=f_n$および$c_n=e_n$が同時に成立することを数学的帰納法を用いて示せ．
(5)$m$を$1$以上の整数とするとき，$d_{2m}$を$m$を用いて表せ．また，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}d_{2m}$を求めよ．