「同様に確からしい」について
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国立 埼玉大学 2015年 第4問百の位が$X$で十の位が$Y$で一の位が$Z$である三けたの数を$(XYZ)$で表すことにする．サイコロを投げるとき，$1$から$6$までの$6$通りのうちいずれかの目が出て，どの目が出ることも同様に確からしいとする．このサイコロを$3$回投げ，出た目の数を順に$A,\ B,\ C$とする．このとき下記の設問に答えよ．
(1)$(ABC)$が$4$の倍数になる確率を求めよ．
(2)$(ABC)$，$(ACB)$，$(BAC)$，$(BCA)$，$(CAB)$，$(CBA)$のいずれもが$4$の倍数にならない確率を求めよ．
(1)$(ABC)$が$4$の倍数になる確率を求めよ．
(2)$(ABC)$，$(ACB)$，$(BAC)$，$(BCA)$，$(CAB)$，$(CBA)$のいずれもが$4$の倍数にならない確率を求めよ．
国立 広島大学 2015年 第5問$m,\ n$を自然数とする．次の問いに答えよ．
(1)$m \geqq 2$，$n \geqq 2$とする．異なる$m$種類の文字から重複を許して$n$個を選び，$1$列に並べる．このとき，ちょうど$2$種類の文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(2)$n \geqq 3$とする．$3$種類の文字$a,\ b,\ c$から重複を許して$n$個を選び，$1$列に並べる．このとき$a,\ b,\ c$すべての文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(3)$n \geqq 3$とする．$n$人を最大$3$組までグループ分けする．このときできたグループ数が$2$である確率$p_n$を求めよ．ただし，どのグループ分けも同様に確からしいとする．
たとえば，$n=3$のとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人をグループ分けする方法は
$\{(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{B})\}$
$\{(\mathrm{B},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{A})\},\quad \{(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\}$
の$5$通りであるので，$\displaystyle p_3=\frac{3}{5}$である．
(4)$(3)$の確率$p_n$が$\displaystyle \frac{1}{3}$以下となるような$n$の範囲を求めよ．
(1)$m \geqq 2$，$n \geqq 2$とする．異なる$m$種類の文字から重複を許して$n$個を選び，$1$列に並べる．このとき，ちょうど$2$種類の文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(2)$n \geqq 3$とする．$3$種類の文字$a,\ b,\ c$から重複を許して$n$個を選び，$1$列に並べる．このとき$a,\ b,\ c$すべての文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(3)$n \geqq 3$とする．$n$人を最大$3$組までグループ分けする．このときできたグループ数が$2$である確率$p_n$を求めよ．ただし，どのグループ分けも同様に確からしいとする．
たとえば，$n=3$のとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人をグループ分けする方法は
$\{(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{B})\}$
$\{(\mathrm{B},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{A})\},\quad \{(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\}$
の$5$通りであるので，$\displaystyle p_3=\frac{3}{5}$である．
(4)$(3)$の確率$p_n$が$\displaystyle \frac{1}{3}$以下となるような$n$の範囲を求めよ．
私立 天使大学 2015年 第4問次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人を含む$5$人でじゃんけんを$1$回行う．$5$人の手（グー・チョキ・パー）の出し方の組み合わせは，同様に確からしいとする．
(i) $\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に「グー」で勝つ確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{a}$}}{\mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$} \mkakko{$\mathrm{d}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{a}$}$は正の数である．
(ii) $\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に勝つ確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{e}$}}{\mkakko{$\mathrm{f}$} \mkakko{$\mathrm{g}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{e}$}$は正の数である．
(2)$5$人の男性と$5$人の女性で，$2$人のグループを$5$組つくる．
(i) グループのつくり方は，全部で$\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$} \mkakko{$\mathrm{j}$}$通りある．
(ii) 組み合わせをクジで決めるとする．女性の入らない組が少なくとも$1$つできる確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{k}$}$は正の数である．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人を含む$5$人でじゃんけんを$1$回行う．$5$人の手（グー・チョキ・パー）の出し方の組み合わせは，同様に確からしいとする．
(i) $\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に「グー」で勝つ確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{a}$}}{\mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$} \mkakko{$\mathrm{d}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{a}$}$は正の数である．
(ii) $\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に勝つ確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{e}$}}{\mkakko{$\mathrm{f}$} \mkakko{$\mathrm{g}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{e}$}$は正の数である．
(2)$5$人の男性と$5$人の女性で，$2$人のグループを$5$組つくる．
(i) グループのつくり方は，全部で$\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$} \mkakko{$\mathrm{j}$}$通りある．
(ii) 組み合わせをクジで決めるとする．女性の入らない組が少なくとも$1$つできる確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}}$である．ただし$\mkakko{$\mathrm{k}$}$は正の数である．
国立 茨城大学 2014年 第2問$a,\ b$を実数とし，$2$次の正方行列を$A=\left( \begin{array}{cc}
a-1 & b-1 \\
a^2-1 & b^2-1
\end{array} \right)$とする．以下の各問に答えよ．
(1)行列$A$が逆行列をもたないような実数$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$1$個のさいころを$2$回振って出た目の数を順に$a,\ b$とおく場合を考える．このとき，行列$A$が逆行列をもたない確率を求めよ．ただし，さいころの$1$から$6$までの目の出方は，同様に確からしいものとする．
a-1 & b-1 \\
a^2-1 & b^2-1
\end{array} \right)$とする．以下の各問に答えよ．
(1)行列$A$が逆行列をもたないような実数$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$1$個のさいころを$2$回振って出た目の数を順に$a,\ b$とおく場合を考える．このとき，行列$A$が逆行列をもたない確率を求めよ．ただし，さいころの$1$から$6$までの目の出方は，同様に確からしいものとする．
私立 昭和大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．
(1)分母が$60$で，分子が$59$以下の自然数である分数$\displaystyle \frac{1}{60},\ \frac{2}{60},\ \frac{3}{60},\ \cdots,\ \frac{59}{60}$の中でこれ以上約分できない分数（既約分数）は何個あるか．
(2)$3$つのさいころを同時に投げ，出た目の最大値を$m$とするとき，$m=5$となる確率を求めよ．ただし，$3$つのさいころのすべての目の出方は同様に確からしいものとする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を求めよ．
(4)$108$の正の約数の総和を求めよ．
(1)分母が$60$で，分子が$59$以下の自然数である分数$\displaystyle \frac{1}{60},\ \frac{2}{60},\ \frac{3}{60},\ \cdots,\ \frac{59}{60}$の中でこれ以上約分できない分数（既約分数）は何個あるか．
(2)$3$つのさいころを同時に投げ，出た目の最大値を$m$とするとき，$m=5$となる確率を求めよ．ただし，$3$つのさいころのすべての目の出方は同様に確からしいものとする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を求めよ．
(4)$108$の正の約数の総和を求めよ．
私立 昭和大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．
(1)分母が$60$で，分子が$59$以下の自然数である分数$\displaystyle \frac{1}{60},\ \frac{2}{60},\ \frac{3}{60},\ \cdots,\ \frac{59}{60}$の中でこれ以上約分できない分数（既約分数）は何個あるか．
(2)$3$つのさいころを同時に投げ，出た目の最大値を$m$とするとき，$m=5$となる確率を求めよ．ただし，$3$つのさいころのすべての目の出方は同様に確からしいものとする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を求めよ．
(4)$108$の正の約数の総和を求めよ．
(1)分母が$60$で，分子が$59$以下の自然数である分数$\displaystyle \frac{1}{60},\ \frac{2}{60},\ \frac{3}{60},\ \cdots,\ \frac{59}{60}$の中でこれ以上約分できない分数（既約分数）は何個あるか．
(2)$3$つのさいころを同時に投げ，出た目の最大値を$m$とするとき，$m=5$となる確率を求めよ．ただし，$3$つのさいころのすべての目の出方は同様に確からしいものとする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を求めよ．
(4)$108$の正の約数の総和を求めよ．
国立 広島大学 2013年 第2問座標平面上の点で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を$3$以上の自然数とし，連立不等式
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．
(1)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(2)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
(3)領域$D$から異なる格子点を$2$つ選ぶとき，互いに隣接点である確率を求めよ．ただし，異なる格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．
(1)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(2)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
(3)領域$D$から異なる格子点を$2$つ選ぶとき，互いに隣接点である確率を求めよ．ただし，異なる格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
国立 広島大学 2013年 第5問座標平面上の点で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を$3$以上の自然数とし，連立不等式
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{O}(0,\ 0)$の隣接点をすべて求めよ．また，領域$D$内の格子点$\mathrm{P}$が直線$x+y=n$上にあるとき，$\mathrm{P}$の隣接点の個数を求めよ．
(2)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(3)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{O}(0,\ 0)$の隣接点をすべて求めよ．また，領域$D$内の格子点$\mathrm{P}$が直線$x+y=n$上にあるとき，$\mathrm{P}$の隣接点の個数を求めよ．
(2)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(3)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
国立 広島大学 2012年 第4問$N$は$4$以上の整数とする．次の規則にしたがって$1$個のさいころを繰り返し投げる．
規則:出た目を毎回記録し，偶数の目が$3$回出るか，あるいは奇数の目が$N$回出たところで，さいころを投げる操作を終了する．
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．
(1)さいころを投げる回数は，最大で何回か．
(2)さいころを$3$回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(3)さいころを$N$回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(4)最後に奇数の目が出て操作を終了する確率を求めよ．
(5)$N=4$のとき，さいころを投げる回数の期待値を求めよ．
規則:出た目を毎回記録し，偶数の目が$3$回出るか，あるいは奇数の目が$N$回出たところで，さいころを投げる操作を終了する．
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．
(1)さいころを投げる回数は，最大で何回か．
(2)さいころを$3$回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(3)さいころを$N$回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(4)最後に奇数の目が出て操作を終了する確率を求めよ．
(5)$N=4$のとき，さいころを投げる回数の期待値を求めよ．
国立 広島大学 2012年 第5問$n$は自然数とし，点Pは次の規則にしたがって座標平面上を動くとする．\\
規則:\\
\quad (A) \ Pは，はじめに点$(1,\ 2)$にある．\\
\quad (B) \ さいころを投げて2以下の目が出ればPは原点を中心に反時計回りに$120^\circ$回転し，3以上の目が出れば時計回りに$60^\circ$回転する．\\
\quad (C) \ (B)を$n$回繰り返す．\\
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．
(1)$n=3$のとき，出た目が$4,\ 1,\ 2$であったとする．このときPが最後に移った点の座標を求めよ．
(2)$n=3$のとき，Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ．
(3)$n=6$のとき，Pが点$(-1,\ -2)$にある確率を求めよ．
(4)$n=3m$のとき，Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ．ただし，$m$は自然数とする．
規則:\\
\quad (A) \ Pは，はじめに点$(1,\ 2)$にある．\\
\quad (B) \ さいころを投げて2以下の目が出ればPは原点を中心に反時計回りに$120^\circ$回転し，3以上の目が出れば時計回りに$60^\circ$回転する．\\
\quad (C) \ (B)を$n$回繰り返す．\\
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．
(1)$n=3$のとき，出た目が$4,\ 1,\ 2$であったとする．このときPが最後に移った点の座標を求めよ．
(2)$n=3$のとき，Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ．
(3)$n=6$のとき，Pが点$(-1,\ -2)$にある確率を求めよ．
(4)$n=3m$のとき，Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ．ただし，$m$は自然数とする．