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群馬大学 国立 群馬大学 2016年 第5問
袋の中に白と黒の石がそれぞれ$6$個ずつ入っている.まず$\mathrm{A}$君が袋の中から$3$個の石を同時に取り出し,新たに白の石$2$個と黒の石$1$個を袋にいれる.次に$\mathrm{B}$君が袋の中から$3$個の石を同時に取り出し,新たに白の石$1$個と黒の石$2$個を袋にいれる.

(1)上記の試行において,$\mathrm{A}$君が$1$個の白の石と$2$個の黒の石を同時に取り出す確率を求めよ.
(2)$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君による上記の試行の後に袋の中にある石について,白の石と黒の石が同数になる確率を求めよ.
(3)$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君による上記の試行の後に袋の中にある石について,白の石が黒の石より多くなる確率を求めよ.
群馬大学 国立 群馬大学 2016年 第4問
袋の中に白と黒の石がそれぞれ$4$個ずつ入っている.まず$\mathrm{A}$君が袋の中から$3$個の石を同時に取り出し,新たに白の石$2$個と黒の石$1$個を袋にいれる.次に$\mathrm{B}$君が袋の中から$3$個の石を同時に取り出し,新たに白の石$1$個と黒の石$2$個を袋にいれる.

(1)上記の試行において,$\mathrm{A}$君が$1$個の白の石と$2$個の黒の石を同時に取り出す確率を求めよ.
(2)$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君による上記の試行の後に袋の中にある石について,白の石と黒の石が同数になる確率を求めよ.
近畿大学 私立 近畿大学 2013年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$x$についての$2$次式$P(x)$を$x+1$で割ると,商が$x-a$であり,余りが$b$であるとする.ただし,$b$は$0$ではないとする.

(i) $2$次方程式$P(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつための必要十分条件は,
$(a+[ア])^2>[イ]b$である.
(ii) $P(a)=P(-a)$を満たす$a$の値は$2$つあり,小さい順に,$[ウ]$,$[エ]$である.
(iii) $P(a+b)=P(a-b)$を満たすとき,$a=[オカ]$である.

(2)袋の中に赤玉$3$個,白玉$4$個が入っている.この袋から玉を$1$個取り出し,それを戻すと同時に,その玉と同じ色の玉を$1$個加える.このような操作を$3$回繰り返す.操作が終わったときに,袋の中の赤玉と白玉が同数になっている確率は,$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$であり,白玉が赤玉より$2$個多くなっている確率は,$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コサ]}$である.
近畿大学 私立 近畿大学 2013年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$x$についての$2$次式$P(x)$を$x+1$で割ると,商が$x-a$であり,余りが$b$であるとする.ただし,$b$は$0$ではないとする.

(i) $2$次方程式$P(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつための必要十分条件は,
$(a+[ア])^2>[イ]b$である.
(ii) $P(a)=P(-a)$を満たす$a$の値は$2$つあり,小さい順に,$[ウ]$,$[エ]$である.
(iii) $P(a+b)=P(a-b)$を満たすとき,$a=[オカ]$である.

(2)袋の中に赤玉$3$個,白玉$4$個が入っている.この袋から玉を$1$個取り出し,それを戻すと同時に,その玉と同じ色の玉を$1$個加える.このような操作を$3$回繰り返す.操作が終わったときに,袋の中の赤玉と白玉が同数になっている確率は,$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$であり,白玉が赤玉より$2$個多くなっている確率は,$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コサ]}$である.
名古屋市立大学 公立 名古屋市立大学 2012年 第2問
図のような縦横同数の格子の全ての格子点上に,白または黒の石を置く.縦または横に隣り合う石の色が同じならその間に実線を,異なっていれば点線を引き,実線の数を数える操作を行う.図$1$の実線の数は$2$本,図$2$では$5$本である.
(図は省略)

(1)$2 \times 2$の格子点に$4$つの石を置くとき,石の置き方にかかわらず,実線の数は偶数になることを示せ.
(2)$3 \times 3$の格子点に$9$つの石を置くとき,実線の数が奇数になるための必要十分条件を示せ.ただし,(1)の結果を使ってもよい.
福井大学 国立 福井大学 2011年 第3問
表の出る確率が$p$,裏の出る確率が$1-p$のコイン8枚と,1つの箱が用意されている.最初,箱には8枚のコインのうちの1枚が入っており,次の操作を繰り返し行う.

(操作) \quad 箱の中のコインをすべて取り出し同時に投げる.裏の出たコインはそのまま箱に戻す.表の出たコインはその枚数を数え,同数のコインを新たに追加して箱に戻す.

例えば,箱の中に3枚のコインがあり,それらを投げた結果,表が2枚,裏が1枚出たとすると,操作の結果,箱の中のコインは,2枚追加されて5枚になる.以下の問いに答えよ.

(1)2回目の操作の終了時,箱の中にあるコインが2枚である確率を$p$を用いて表せ.
(2)2回目の操作の終了時,箱の中にあるコインの枚数の期待値を$p$を用いて表せ.
(3)3回目の操作の終了時,箱の中にあるコインが6枚以下である確率を$p$を用いて表せ.
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「同数」とは・・・

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