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国立 茨城大学 2011年 第3問点Aを$(-2,\ 0)$，点Eを$(2,\ 0)$とする．3つの点B，C，Dは，$\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=\text{DE}$を満たし，かつ，直線ABと直線CDが直角に交わり，直線BCと直線DEが直角に交わる．点B，C，Dの位置を調べるために，$\overrightarrow{\mathrm{BS}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}$となるような点Sをとる．点Sの$y$座標を$s$とする．以下の各問に答えよ．
(1)ASとESの長さを比較し，点Sが満たす条件を求めよ．
(2)点Bが直線ASの上側にある場合を考える．$\overrightarrow{\mathrm{SB}}$と点Bの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Bが描く図形は何か．
(3)点Dが直線ESの上側にある場合を考える．$\overrightarrow{\mathrm{SD}}$と点Dの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Dが描く図形は何か．
(4)(2)かつ(3)の場合に点Cの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Cが描く図形は何か．
(5)(2)かつ(3)の場合で，5つの点A，B，C，D，Eが同一円周上ににあるような点B，C，Dの位置の組み合わせをすべて求めよ．
(1)ASとESの長さを比較し，点Sが満たす条件を求めよ．
(2)点Bが直線ASの上側にある場合を考える．$\overrightarrow{\mathrm{SB}}$と点Bの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Bが描く図形は何か．
(3)点Dが直線ESの上側にある場合を考える．$\overrightarrow{\mathrm{SD}}$と点Dの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Dが描く図形は何か．
(4)(2)かつ(3)の場合に点Cの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Cが描く図形は何か．
(5)(2)かつ(3)の場合で，5つの点A，B，C，D，Eが同一円周上ににあるような点B，C，Dの位置の組み合わせをすべて求めよ．
私立 明治大学 2011年 第1問次の各設問の$[1]$から$[8]$までの空欄と$[ ]$に適当な答えを入れよ．
(1)箱の中に，$1$と書かれたカードが$4$枚．$2$と書かれたカードが$3$枚，$3$と書かれたカードが$2$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚ある．箱から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問いに答えよ．
(i) $1$と書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる確率は$[1]$である．
(ii) $3$枚のカードに書かれた数字の和が$5$となる確率は$[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において次が成り立つとき，以下の問いに答えよ．
\[ \sin A:\sin B:\sin C = 13:8:7 \]
(i) $\cos A=[3]$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径が$13$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．ただし，分母を有理化して答えよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が次の条件を満たすとき．点$\mathrm{P}$が動く部分の面積を求めよ．ただし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$1$とする．
(i) $\displaystyle \frac{1}{2} \leqq s+t \leqq 1,\ 0 \leqq s,\ 0 \leqq t$のとき$[4]$．
(ii) $t \leqq s,\ s \leqq 3,\ 0 \leqq t$のとき$[5]$．
(4)$\displaystyle 81^{-x}-\frac{1}{2}\cdot 3^{-2x+2}+2=0$を満たす最大の$x$は$\log_9 [6]$である．
(5)ある星$\mathrm{O}$を中心として同一方向に円軌道を描きながら回っている星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$がある．ただし，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$の円軌道は同一平面上にあると仮定する．星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{O}$との距離は$0.9$億$\mathrm{km}$で，星$\mathrm{B}$と星$\mathrm{O}$との距離は$1.5$億$\mathrm{km}$である．星$\mathrm{A}$は星$\mathrm{O}$の周りを一周するのに$240$日かかり，星$\mathrm{B}$は$360$日かかる．現在，星$\mathrm{A}$が星$\mathrm{B}$より回転方向に$90^{\circ}$進んだ位置にあるとするとき，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離が最初に最大になるのは，今から$[7]$日後である．また，$60$日後の星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離は$[8]$億$\mathrm{km}$である．
(1)箱の中に，$1$と書かれたカードが$4$枚．$2$と書かれたカードが$3$枚，$3$と書かれたカードが$2$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚ある．箱から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問いに答えよ．
(i) $1$と書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる確率は$[1]$である．
(ii) $3$枚のカードに書かれた数字の和が$5$となる確率は$[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において次が成り立つとき，以下の問いに答えよ．
\[ \sin A:\sin B:\sin C = 13:8:7 \]
(i) $\cos A=[3]$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径が$13$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．ただし，分母を有理化して答えよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が次の条件を満たすとき．点$\mathrm{P}$が動く部分の面積を求めよ．ただし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$1$とする．
(i) $\displaystyle \frac{1}{2} \leqq s+t \leqq 1,\ 0 \leqq s,\ 0 \leqq t$のとき$[4]$．
(ii) $t \leqq s,\ s \leqq 3,\ 0 \leqq t$のとき$[5]$．
(4)$\displaystyle 81^{-x}-\frac{1}{2}\cdot 3^{-2x+2}+2=0$を満たす最大の$x$は$\log_9 [6]$である．
(5)ある星$\mathrm{O}$を中心として同一方向に円軌道を描きながら回っている星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$がある．ただし，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$の円軌道は同一平面上にあると仮定する．星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{O}$との距離は$0.9$億$\mathrm{km}$で，星$\mathrm{B}$と星$\mathrm{O}$との距離は$1.5$億$\mathrm{km}$である．星$\mathrm{A}$は星$\mathrm{O}$の周りを一周するのに$240$日かかり，星$\mathrm{B}$は$360$日かかる．現在，星$\mathrm{A}$が星$\mathrm{B}$より回転方向に$90^{\circ}$進んだ位置にあるとするとき，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離が最初に最大になるのは，今から$[7]$日後である．また，$60$日後の星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離は$[8]$億$\mathrm{km}$である．
私立 自治医科大学 2011年 第18問同一直線上に，それぞれ異なる$3$つの点，$\mathrm{A}(k+2,\ 5)$，$\mathrm{B}(6,\ 5-2k)$，$\mathrm{C}(5,\ 3)$が存在するとき，$k$の値を求めよ．
私立 南山大学 2011年 第2問座標平面上に，放物線$C:y=x^2-2x+1$と点$\mathrm{A}(1,\ -1)$がある．$\mathrm{A}$を通る$C$の接線のうち，傾きが負のものを$\ell$とする．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$に関して，$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{5}{4},\ \frac{1}{16} \right)$と線対称な点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求め，$C$，$\ell$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を同一平面上に図示せよ．
(3)$\ell$に関して，$y$軸と線対称な直線を$m$とする．$m$の方程式を求めよ．
(4)$\ell$に関して，$C$と線対称な曲線を$D$とする．$D$と$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$に関して，$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{5}{4},\ \frac{1}{16} \right)$と線対称な点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求め，$C$，$\ell$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を同一平面上に図示せよ．
(3)$\ell$に関して，$y$軸と線対称な直線を$m$とする．$m$の方程式を求めよ．
(4)$\ell$に関して，$C$と線対称な曲線を$D$とする．$D$と$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
公立 高崎経済大学 2011年 第1問以下の各問いに答えよ．
(1)次の方程式を解け．
\[ |x+3| = 2x \]
(2)$a$を素数とする．$2$次方程式$x^2 -ax+66 = 0$の$2$つの解のうち，ただ$1$つのみが素数であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$A = 60^\circ$，外接円の半径$R$が$7$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)$\log_{10} 2 = 0.3010,\ \log_{10} 3 = 0.4771$とする．$12^{20}$は何桁の整数か．
(5)$15$本のくじの中に当たりくじが$3$本ある．この中から$2$本のくじを同時に引くとき，少なくとも$1$本が当たる確率を求めよ．
(6)次の$3$点が同一直線上にあるように，$m,\ n$の値を定めよ．
\[ \mathrm{A}(2,\ -1,\ -2),\ \mathrm{B}(4,\ 2,\ 5),\ \mathrm{C}(m,\ -4,\ n) \]
(7)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{-2}^2 |x-1|(x-1) \, dx \]
(8)四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB} = 5,\ \mathrm{BC} = 3,\ \mathrm{CD} = 7,\ B = 120^\circ,\ D = 60^\circ$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．
(1)次の方程式を解け．
\[ |x+3| = 2x \]
(2)$a$を素数とする．$2$次方程式$x^2 -ax+66 = 0$の$2$つの解のうち，ただ$1$つのみが素数であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$A = 60^\circ$，外接円の半径$R$が$7$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)$\log_{10} 2 = 0.3010,\ \log_{10} 3 = 0.4771$とする．$12^{20}$は何桁の整数か．
(5)$15$本のくじの中に当たりくじが$3$本ある．この中から$2$本のくじを同時に引くとき，少なくとも$1$本が当たる確率を求めよ．
(6)次の$3$点が同一直線上にあるように，$m,\ n$の値を定めよ．
\[ \mathrm{A}(2,\ -1,\ -2),\ \mathrm{B}(4,\ 2,\ 5),\ \mathrm{C}(m,\ -4,\ n) \]
(7)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{-2}^2 |x-1|(x-1) \, dx \]
(8)四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB} = 5,\ \mathrm{BC} = 3,\ \mathrm{CD} = 7,\ B = 120^\circ,\ D = 60^\circ$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．
公立 富山県立大学 2011年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$と辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{D}$と$\mathrm{F}$とする．また，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CO}$を$\displaystyle \frac{t}{3}:\left( 1-\frac{t}{3} \right)$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{E}$と$\mathrm{G}$とする．ただし，$0<t<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$としたとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を表せ．
(2)$\displaystyle t=\frac{3}{4}$のとき，$4$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$が同一平面上に存在することを示せ．
(3)$(2)$のとき，線分$\mathrm{DF}$と線分$\mathrm{EG}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を表せ．
(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を表せ．
(2)$\displaystyle t=\frac{3}{4}$のとき，$4$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$が同一平面上に存在することを示せ．
(3)$(2)$のとき，線分$\mathrm{DF}$と線分$\mathrm{EG}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を表せ．
国立 弘前大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$y = x^2-2x+2$と$y = -x^2 +2| \, x \, |+12$のグラフを同一の座標平面にかけ．
(2)$y = x^2-2x+2$と$y = -x^2 +2| \, x \, |+12$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)$y = x^2-2x+2$と$y = -x^2 +2| \, x \, |+12$のグラフを同一の座標平面にかけ．
(2)$y = x^2-2x+2$と$y = -x^2 +2| \, x \, |+12$で囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 埼玉大学 2010年 第4問半径$R$の円$C$の中心を通る直線を$\ell$とする．円$C$上の2点A，Bは弦ABが$\ell$と交わらないように動くものとする．$\ell$を軸として弦ABを回転させてできる図形の面積を$S$とする．ただし，直線$\ell$は円$C$と同一平面上にあるものとする．
(1)弦ABの長さを一定とするならば，弦ABが$\ell$と平行のとき$S$が最大となることを証明せよ．
(2)弦ABの長さが変化するとき，$S$の最大値を求めよ．
(1)弦ABの長さを一定とするならば，弦ABが$\ell$と平行のとき$S$が最大となることを証明せよ．
(2)弦ABの長さが変化するとき，$S$の最大値を求めよ．
国立 信州大学 2010年 第2問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は零行列ではなく，$A^2$が零行列となるとする．次の問に答えよ．
(1)$a+d=ad-bc=0$を示せ．
(2)行列$A$が表す一次変換によって，座標平面上の原点と任意の点P，Qは同一直線上に移ることを示せ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は零行列ではなく，$A^2$が零行列となるとする．次の問に答えよ．
(1)$a+d=ad-bc=0$を示せ．
(2)行列$A$が表す一次変換によって，座標平面上の原点と任意の点P，Qは同一直線上に移ることを示せ．
国立 岩手大学 2010年 第4問2つずつ平行な3組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．下図のような平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CQRS}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{F}$，$\triangle \mathrm{DQS}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)4点$\mathrm{O},\ \mathrm{F},\ \mathrm{G},\ \mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)4点$\mathrm{O},\ \mathrm{F},\ \mathrm{G},\ \mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．
（図は省略）