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私立 南山大学 2012年 第2問$a,\ b$を正の定数とし，関数$f(x)=2x^3-3ax^2$と座標平面上の$2$つの曲線$C_1:y=f(x)$，$C_2:y=f(x)+b$を考える．
(1)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 5$における$f(x)$の最小値を$a$で表せ．
(3)$a=1,\ b=5$として，同一平面上に$C_1$と$C_2$を図示せよ．
(4)$1$つの直線が$C_1$，$C_2$の両方の接線であるとき，その直線を$C_1$，$C_2$の共通接線という．$a=1$のとき，$C_1$と$C_2$に，傾き$12$の共通接線があるように$b$の値を定めよ．
(1)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 5$における$f(x)$の最小値を$a$で表せ．
(3)$a=1,\ b=5$として，同一平面上に$C_1$と$C_2$を図示せよ．
(4)$1$つの直線が$C_1$，$C_2$の両方の接線であるとき，その直線を$C_1$，$C_2$の共通接線という．$a=1$のとき，$C_1$と$C_2$に，傾き$12$の共通接線があるように$b$の値を定めよ．
私立 西南学院大学 2012年 第5問同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{O}$を原点として，以下の問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点$\mathrm{P}$の位置ベクトルは
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{n}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{m}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で表されることを示せ．
(2)$\alpha,\ \beta$を実数として，点$\mathrm{Q}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で表されるベクトルの終点とする．$\alpha,\ \beta$が次のそれぞれの関係式を満たすとき，点$\mathrm{Q}$の存在範囲を図示せよ．ただし，結果に至るプロセスも示すこと．
\mon[$①$] $\alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ \alpha+\beta=1$
\mon[$②$] $\alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ \alpha+\beta \leqq 1$
\mon[$③$] $\alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ 1 \leqq \alpha+\beta \leqq 2$
(1)線分$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点$\mathrm{P}$の位置ベクトルは
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{n}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{m}{m+n} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で表されることを示せ．
(2)$\alpha,\ \beta$を実数として，点$\mathrm{Q}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で表されるベクトルの終点とする．$\alpha,\ \beta$が次のそれぞれの関係式を満たすとき，点$\mathrm{Q}$の存在範囲を図示せよ．ただし，結果に至るプロセスも示すこと．
\mon[$①$] $\alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ \alpha+\beta=1$
\mon[$②$] $\alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ \alpha+\beta \leqq 1$
\mon[$③$] $\alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0,\ 1 \leqq \alpha+\beta \leqq 2$
私立 岡山理科大学 2012年 第4問$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{F}$，重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{FA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{FC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{FH}}=3 \overrightarrow{\mathrm{FG}}$を満たす点とする．このとき，次の設問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{FH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}$を示せ．
(3)$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{BC}$の中点とする．$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が相異なる点で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が同一直線上にないとき，$\triangle \mathrm{AHG}$の面積は$\triangle \mathrm{MFG}$の面積の何倍であるかを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{FH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}$を示せ．
(3)$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{BC}$の中点とする．$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が相異なる点で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が同一直線上にないとき，$\triangle \mathrm{AHG}$の面積は$\triangle \mathrm{MFG}$の面積の何倍であるかを求めよ．
私立 津田塾大学 2012年 第4問曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x^2}$の$x>0$の部分を$C_1$とする．また，原点と$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{1}{p^2} \right)$を通る放物線を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$が点$\mathrm{P}$において同一の直線に接するとき，次の問に答えよ．
(1)$C_2$の式を$p$を用いて表せ．
(2)$C_2$と$x$軸の交点のうち，原点でない方を$\mathrm{Q}$とおく．点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線と，$C_1,\ C_2$で囲まれた領域の面積を求めよ．
(1)$C_2$の式を$p$を用いて表せ．
(2)$C_2$と$x$軸の交点のうち，原点でない方を$\mathrm{Q}$とおく．点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線と，$C_1,\ C_2$で囲まれた領域の面積を求めよ．
公立 大阪市立大学 2012年 第2問実数$\theta$に対し，座標空間の2点A$(\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0)$，B$(0,\ \sin 2\theta,\ \cos 2\theta)$を考える．次の問いに答えよ．
(1)点A，Bと原点Oの3点は同一直線上にないことを示せ．
(2)三角形OABの面積$S$を$\sin \theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が実数全体を動くとき，(2)で求めた$S$の最大値と最小値を求めよ．
(1)点A，Bと原点Oの3点は同一直線上にないことを示せ．
(2)三角形OABの面積$S$を$\sin \theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が実数全体を動くとき，(2)で求めた$S$の最大値と最小値を求めよ．
国立 弘前大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，方程式
\[ 2 \sin 2\theta = \tan \theta + \frac{1}{\cos \theta} \]
を解け．
(2)正四面体ABCDにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{d}$とし，辺AB，AC，CD，BDの中点をそれぞれP，Q，R，Sとする．このとき4点P，Q，R，Sは同一平面上にあることを示し，さらに四角形PQRSは正方形になることを示せ．
(1)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，方程式
\[ 2 \sin 2\theta = \tan \theta + \frac{1}{\cos \theta} \]
を解け．
(2)正四面体ABCDにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{d}$とし，辺AB，AC，CD，BDの中点をそれぞれP，Q，R，Sとする．このとき4点P，Q，R，Sは同一平面上にあることを示し，さらに四角形PQRSは正方形になることを示せ．
国立 岩手大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},\ y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=x^2+ax-2a+6$の$x \geqq 0$における最小値が1であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを$2:1$に内分する点をD，辺ACを$3:5$に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比$\text{AB}:\text{AC}$を求めよ．
(1)$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},\ y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=x^2+ax-2a+6$の$x \geqq 0$における最小値が1であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを$2:1$に内分する点をD，辺ACを$3:5$に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比$\text{AB}:\text{AC}$を求めよ．
国立 岡山大学 2011年 第3問平面上の異なる$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は同一直線上にないものとする．この平面上の点$\mathrm{P}$が
\[ 2|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2 - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} + 2 \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} = 0 \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$の軌跡が円となることを示せ．
(2)$(1)$の円の中心を$\mathrm{C}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．
(3)$\mathrm{O}$との距離が最小となる$(1)$の円周上の点を$\mathrm{P}_0$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が条件
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2+5\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+4|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2 = 0 \]
を満たすとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP_0}} = s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$s,\ t$の値を求めよ．
\[ 2|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2 - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} + 2 \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} = 0 \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$の軌跡が円となることを示せ．
(2)$(1)$の円の中心を$\mathrm{C}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．
(3)$\mathrm{O}$との距離が最小となる$(1)$の円周上の点を$\mathrm{P}_0$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が条件
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2+5\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+4|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2 = 0 \]
を満たすとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP_0}} = s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$s,\ t$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},\ y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=x^2+ax-2a+6$の$x \geqq 0$における最小値が1であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを$2:1$に内分する点をD，辺ACを$3:5$に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比$\text{AB}:\text{AC}$を求めよ．
(1)$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},\ y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=x^2+ax-2a+6$の$x \geqq 0$における最小値が1であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを$2:1$に内分する点をD，辺ACを$3:5$に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比$\text{AB}:\text{AC}$を求めよ．
国立 富山大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$について$x^2+k>|x|$が成立するような，定数$k$の範囲を求めよ．
(2)放物線$C_1:y=x^2+k$を考える．ただし，定数$k$は(1)の範囲にあるとする．直線$y=x$に関して$C_1$と対称な曲線を$C_2$とする．$C_1$上に点P$_1$を，$C_2$上に点P$_2$をとる．点P$_1$の$x$座標を$s$，点P$_2$の$y$座標を$t$とする．また原点をO$(0,\ 0)$とする．
(3)$\triangle$OP$_1$P$_2$の面積を$A$とおく．$A$を$s$と$t$を用いて表せ．ただし，3点O$(0,\ 0)$，L$(a,\ b)$，M$(c,\ d)$が同一直線上にないとき，その3点を頂点とする$\triangle$OLMの面積が$\displaystyle \frac{1}{2}|ad-bc|$であることは使ってよい．
(4)$t$を固定する．$s$が実数全体を動くときの$A$の最小値を$B$とする．$B$を$t$を用いて表せ．
(5)$t$が実数全体を動くときの$B$の最小値を求めよ．
(1)すべての実数$x$について$x^2+k>|x|$が成立するような，定数$k$の範囲を求めよ．
(2)放物線$C_1:y=x^2+k$を考える．ただし，定数$k$は(1)の範囲にあるとする．直線$y=x$に関して$C_1$と対称な曲線を$C_2$とする．$C_1$上に点P$_1$を，$C_2$上に点P$_2$をとる．点P$_1$の$x$座標を$s$，点P$_2$の$y$座標を$t$とする．また原点をO$(0,\ 0)$とする．
(3)$\triangle$OP$_1$P$_2$の面積を$A$とおく．$A$を$s$と$t$を用いて表せ．ただし，3点O$(0,\ 0)$，L$(a,\ b)$，M$(c,\ d)$が同一直線上にないとき，その3点を頂点とする$\triangle$OLMの面積が$\displaystyle \frac{1}{2}|ad-bc|$であることは使ってよい．
(4)$t$を固定する．$s$が実数全体を動くときの$A$の最小値を$B$とする．$B$を$t$を用いて表せ．
(5)$t$が実数全体を動くときの$B$の最小値を求めよ．